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《循环群与置换群》PPT课件•群的基本概念•置换群•循环群与置换群的关系•循环群的性质目录•置换群的性质•应用实例contents01群的基本概念群的定义群是由一个集合以及定义在这个集合上的二元运1算所组成的一个代数结构群中的元素称为群元,通常用小写字母表示,如2$a,b,c,ldots$群中的二元运算是封闭的,即对于任意两个群元3$a$和$b$,运算结果仍然属于这个集合群的基本性质封闭性结合律群中的二元运算是封闭的,即对于任意两个群元$a$和群中的二元运算是满足结合律的,即$a cdotb cdotc$b$,运算结果仍然属于这个集合=a cdotb cdotc$单位元存在逆元存在存在一个特殊的群元,称为单位元,它与群中任意元素相对于任意一个群元$a$,都存在一个逆元$a^{-1}$,使得乘都等于该元素本身,记作$e$$a cdota^{-1}=e$循环群的定义01循环群是由一个元素生成的群,即存在一个元素$g$,使得群中所有元素都可以表示为$g^k$($k inZ$)的形式02循环群的性质循环群的运算满足封闭性、结合律、单位元存在和逆元存在等基本性质02置换群置换的定义置换的定义置换是集合中元素之间的替换方式具体来说,对于一个给定的集合,置换是指集合中每个元素都有对应的新位置,即一个元素被另一个元素所替换置换的表示置换通常用矩阵或列表来表示,其中矩阵的行和列都按照集合中元素的顺序排列,非对角线上的元素表示元素之间的替换关系置换的性质置换的恒等性01恒等置换是任何集合上的一个特殊的置换,它不改变集合中任何元素的相对位置置换的复合性02两个置换可以通过复合运算得到一个新的置换复合运算是指将一个置换应用于另一个置换的结果置换的逆置换03对于任意一个置换,都存在一个逆置换,它可以将原始置换的结果恢复到原始状态置换群的定义置换群的定义置换群是由集合上的所有置换组成的集合,并且满足封闭性、结合性和存在恒等元三个性质封闭性是指置换群中的任意两个元素都可以进行复合运算;结合性是指复合运算是可结合的;存在恒等元是指存在一个恒等置换作为单位元置换群的分类根据集合中元素的个数,可以将置换群分为有限置换群和无限置换群有限置换群是指集合中元素的个数有限的置换群,而无限置换群是指集合中元素的个数无限的置换群03循环群与置换群的关系循环群是特殊的置换群循环群是由一个元素生成的置换置换群是由有限个元素的全排列循环群是置换群的一个子集,即群,即元素之间只有一种排列方构成的群,元素之间可以有多种当置换群的元素全排列只有一种式排列方式时,该置换群就成为了循环群置换群的分类完全置换群所有元素都有不同的全排列方式,即置换群的阶数等于元素个数部分置换群部分元素有相同的全排列方式,即置换群的阶数小于元素个数循环群与置换群的实例循环群实例$Z_n$,即模n加法循环群,由0到n-1的整数构成,每个整数都有n种全排列方式置换群实例$S_n$,即n元对称群,由0到n-1的n个不同元素的全排列构成,共有n!种全排列方式04循环群的性质循环群的运算性质0102030405循环群的运算性封闭性结合性单位元存在性逆元存在性质总结循环群中的元素具有封闭循环群中的元素通过有限循环群中的元素满足结合循环群中存在一个单位元,对于循环群中的任意元素性、结合性、单位元存在次运算仍属于该群,即群律,即即满足$a^e=e$的元素$a$,都存在一个逆元性和逆元存在性等基本性的运算是封闭的$a^m^n=a^{mn}$,其$e$,其中$a$是群中任意$a^{-1}$,使得$a cdot质这些性质是循环群作中$a$是群中任意元素,元素a^{-1}=e$或$a^{-1}cdot为数学结构的基础,有助$m$和$n$是任意正整数a=e$于理解循环群在置换群中的地位和作用循环群的子群子群的性质01循环群的子群也是循环群,即子群中的元素具有封闭性、结合性、单位元存在性和逆元存在性等基本性质这些性质是子群作为数学结构的基础,有助于理解子群在循环群中的地位和作用子群的构造02对于任意正整数$n$,${a^n}$是循环群${a}$的子群此外,${a^n}$也是${a}$的正规子群子群的同态与同构03对于任意两个循环群${a}$和${b}$,如果存在同态或同构映射,则它们的子群也具有同态或同构关系这些性质有助于理解同态和同构在循环群中的作用和意义循环群的同态与同构同态与同构的性质循环群的同态和同构具有一些重要的性质,如同态的核和像、同构的映射法则等这些性质有助于理解同态和同构在循环群中的作用和意义同态的核和像对于任意两个循环群${a}$和${b}$,如果存在一个同态映射$varphi:{a}longrightarrow{b}$,则该映射的核为${a^n}$,其中$n$为正整数此外,该映射的像是${b^n}$,其中$n$为正整数这些性质有助于理解同态映射在循环群中的作用和意义同构的映射法则对于任意两个循环群${a}$和${b}$,如果存在一个同构映射$varphi:{a}longrightarrow{b}$,则该映射具有一些特殊的性质,如$varphia^n=b^n$等这些性质有助于理解同构映射在循环群中的作用和意义05置换群的性质置换群的运算性质置换群的运算性质封闭性结合性单位元逆元总结置换群是通过置换操作置换群中的任意两个置置换群中的置换操作满置换群中存在一个特殊对于置换群中的任意一构成的群,具有封闭性、换可以通过有限次置换足结合律,即任意三个的置换,称为单位元,个置换,都存在一个逆结合性、单位元和逆元操作相互转化,即置换置换的复合与它们的任它不改变其他置换的状元置换,使得它们的复等运算性质这些性质群在置换操作下是封闭意排列顺序的复合是等态合为单位元确保了置换群的数学基的价的础和逻辑严密性置换群的子群子群的分类与性质置换群的子群可以根据其与单位元的关系分为正规子群和非正规子群正规子群中的元素与单位元的复合仍在该子群中,而非正规子群则不一定满足这一性质子群具有封闭性、有限交性和有限并性等性质子群的构造通过选择置换群中的若干个置换作为子群的元素,可以构造出置换群的子群子群可以由单位元和若干个非单位元的置换构成,其中非单位元的置换可以两两复合得到子群在置换群中的作用子群在置换群的结构和性质研究中具有重要的作用通过研究子群的性质和分类,可以进一步了解整个置换群的性质和结构置换群的同态与同构同态与同构的概念同态与同构的性质同态与同构的应用在代数结构中,同态和同构是两种重同态和同构都是等价关系,具有反身在实际应用中,同态和同构的概念可要的等价关系对于置换群而言,同性、对称性和传递性等性质通过研以用于比较不同置换群之间的相似性态是指两个置换群之间存在一个映射,究同态和同构的性质,可以进一步了和差异性,以及进行置换群的分类和使得对应的元素满足一定的关系;同解置换群的内在结构和性质结构分析此外,同态和同构也是研构则是指两个置换群之间存在一个一究其他代数结构的重要工具和方法一对应的映射,使得对应的元素之间具有相同的结构和性质06应用实例在密码学中的应用加密算法置换群和循环群在加密算法中有着广泛的应用,如凯撒密码、栅栏密码等这些算法利用置换群中的置换操作对明文进行加密,保护信息的安全密钥管理循环群和置换群可用于生成和验证数字签名,以及管理加密密钥通过利用置换群的性质,可以设计出安全可靠的密钥管理方案在编码理论中的应用纠错编码循环群在纠错编码中有着重要的应用,如Reed-Solomon码和Bose-Chaudhuri-Hocquenghem码等这些纠错编码利用循环群的性质,能够有效地检测和纠正传输过程中的错误编码理论置换群在编码理论中也有着广泛的应用,如线性码和循环码等这些编码利用置换群的性质,能够设计出高效可靠的编码方案在几何学中的应用几何变换置换群在几何变换中有着重要的应用,如矩阵表示和仿射变换等通过利用置换群的性质,可以研究几何图形在不同变换下的性质和关系分形几何循环群在分形几何中也有着一定的应用,如Mandelbrot集和Julia集等这些分形结构通过循环群的迭代和递归生成,展现出复杂而美丽的几何图案THANKS感谢观看。