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《函数连续性说》ppt课件•函数连续性的定义•函数连续性的判定•函数连续性的应用•函数连续性的扩展01函数连续性的定义函数连续性的数学定义函数在某点连续的定义如果函数在某点的极限值等于函数值,则函数在该点连续函数在区间上连续的定义如果函数在区间的每一点都连续,则函数在该区间上连续函数连续性的几何意义01连续函数的图像是连绵不断的曲线,没有间断点02在直角坐标系中,连续函数的图像是一条光滑的曲线函数连续性的性质连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍然为连续函数连续函数在闭区间上具有最大值和最小值,分别在区间的端点和极值点取得02函数连续性的判定函数在某点连续的判定总结词判断函数在某一点是否连续详细描述如果函数在某一点的左右极限相等,并且等于该点的函数值,则函数在该点连续公式$fx_{0}=lim_{x tox_{0}}fx$例子考虑函数$fx=x^{2}$,在$x_{0}=2$处,$f2=4$,$lim_{x to2}x^{2}=4$,所以$fx$在$x_{0}=2$处连续函数在区间上连续的判定总结词详细描述例子判断函数在某个区间上是否连续如果函数在区间内的每一点都连考虑函数$fx=x^{2}$,在区续,则函数在该区间上连续间$[0,3]$上,对于任意$x in[0,3]$,$fx$都满足在某一点连续的定义,所以$fx$在$[0,3]$区间上连续函数在无穷区间上连续的判定总结词判断函数在无穷区间上是否连续详细描述如果函数在无穷区间内的每一点都连续,并且存在极限,则函数在该无穷区间上连续例子考虑函数$fx=frac{1}{x}$,在区间$-infty,0$和$0,+infty$上,对于任意$x in-infty,0cup0,+infty$,$fx$都满足在某一点连续的定义,并且存在极限,所以$fx$在$-infty,0cup0,+infty$区间上连续03函数连续性的应用在微积分中的应用极限理论函数连续性是微积分中的基本概念,极限理论中的许多概念和定理都与连续性密切相关例如,连续函数的极限性质、闭区间上连续函数的性质等导数与微分连续函数在某一点的导数定义为该点附近函数值的增量与自变量增量的比值如果函数在某点可导,则该点必连续同时,连续函数的微分也是其导数的近似值,这在近似计算和误差估计中具有重要应用不定积分与定积分不定积分是求原函数的过程,而原函数的存在性要求被积函数必须是连续的定积分则是求某个区间上函数的面积,而连续函数在该区间上的定积分存在且唯一在实数理论中的应用实数完备性实数理论中的许多重要定理都与连续性有关例如,实数完备性定理指出,实数集具有完备性,即实数集上的任何有界序列都存在极限这个定理的证明过程中涉及到了连续函数的性质实数域的性质实数域是一个有序域,其有序性质与连续性密切相关例如,实数域中的稠密性和连续性有关,任意两个不相等的实数之间都存在其他实数此外,实数域的完备性和连续性也有关在复数理论中的应用复数的连续性复数可以用平面上的点来表示,因此具有几何意义复数的连续性意味着在复平面上的每一点都对应一个复数值,并且这些值在平面上是平滑变化的复数的连续性在信号处理、控制系统等领域有广泛应用复分析复分析是研究复数域上的函数的数学分支,其基础就是函数的连续性例如,柯西积分公式、留数定理等复分析中的重要定理都涉及到了函数的连续性04函数连续性的扩展一致连续性一致连续性对于任意给定的正数ε,存在一个正数δ,使得当x与x的差的绝对值小于δ时,fx与fx的差的绝对值小于ε总结词一致连续性是函数连续性的一种更严格的定义,它要求函数在任意两点之间的变化都是连续的,而不仅仅是任意两点之间的变化小于某个固定的正数紧致性定理紧致性定理如果函数f在闭区间[a,b]上连续,且在该区间上存在最大值和最小值,则f在[a,b]上至少存在一个最大值和一个最小值总结词紧致性定理是函数连续性的一种重要应用,它表明在闭区间上连续的函数一定会在该区间内取得最大值和最小值连续函数的性质和定理性质1性质2如果函数f在区间I上连续,那么f在该区间如果函数f在区间I上连续,那么f在该区间上单调增加或单调减少上可微定理1定理2如果函数f和g在区间I上连续,且fx≤gx如果函数f在区间I上连续,且在该区间上取对于所有x∈I成立,那么存在一个常数M,得最大值和最小值,那么f的一阶导数在该使得fx≤M≤gx对于所有x∈I成立区间上一定为零THANKS感谢观看。