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《函数极限连续性》ppt课件•函数极限的定义与性质目录•连续函数的性质与判定•函数极限与连续性的关系•常见函数的极限与连续性分析01函数极限的定义与性质函数极限的定义01函数极限的定义当自变量x趋于某一值时,函数fx的值趋于某一常数A,则称A为函数fx在x趋于这一值时的极限02函数极限的表示方法lim fx=A或fx-A x-x003函数极限存在的条件函数在某点的极限存在,则函数在该点附近必须具有趋势性函数极限的性质唯一性有界性局部保号性局部保序性一个函数的极限是唯一的函数在某点的极限存在,如果lim fx=A0,则在如果lim fx=AB,则在则函数在该点的取值是有x0的某邻域内fx0;如x0的某邻域内fxB界的果lim fx=A0,则在x0的某邻域内fx0函数极限的计算方法直接代入法分解法对于简单的函数,可以直接代入求得将复杂的函数分解为若干个简单的函极限数,分别求得它们的极限,再利用极限的运算法则求得原函数的极限洛必达法则等价无穷小替换对于形如f/g的极限,可以转化为在求极限时,可以将无穷小量替换为f/g的极限,再利用其他方法求得等价的无穷小量,简化计算02连续函数的性质与判定连续函数的定义01总结词描述函数在某点连续的定义02详细描述如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值,则函数在该点连续连续函数的性质总结词列举连续函数的性质详细描述连续函数具有一些重要的性质,如局部有界性、局部保号性、介值定理等这些性质在解决数学问题时非常有用连续函数的判定方法总结词介绍判断函数连续性的方法详细描述要判断一个函数是否连续,需要分别求出函数在所考虑点的左右极限,并验证它们是否相等且等于该点的函数值此外,还可以利用极限的运算法则和性质简化计算03函数极限与连续性的关系函数极限与连续性的关系函数极限是描述函数在某一点的行为,而连续性01是描述函数在某一点的性质如果函数在某一点的极限存在,则该点一定是连02续点如果函数在某一点的极限不存在,则该点可能是03间断点函数极限存在定理函数在某一点的极限存在,当且仅当该点的左右01极限相等函数在某一点的极限存在,当且仅当该点附近的02函数值收敛到该点的函数值02函数在某一点的极限存在,当且仅当该点附近的函数值满足一定的性质(如单调性、有界性等)函数极限与连续性的应用在数学分析中,函数极限与连在物理、工程等领域中,函数在金融、经济等领域中,函数续性是研究函数的重要工具极限与连续性也具有广泛的应极限与连续性可以用于研究随用机过程、时间序列等常见函数的极限与连续性分04析指数函数、幂函数、三角函数的极限与连续性分析指数函数幂函数三角函数对于形如a^x(a0且a对于形如x^n的幂函数,其极对于正弦、余弦、正切等三角函neq1的指数函数,其极限和连限和连续性取决于指数n的取数,其极限和连续性取决于角度续性取决于底数a的取值当值当n0时,函数在正无的取值在定义域内,三角函数a1时,函数在正无穷处趋于穷处趋于正无穷;当n0时,是连续的正无穷;当0a1时,函数函数在正无穷处趋于0在定义域在正无穷处趋于0在定义域内,内,当n neq0时,幂函数是指数函数是连续的连续的分段函数的极限与连续性分析分段函数分段函数可能在不同的定义域内具有不同的表达式在分析分段函数的极限和连续性时,需要分别考虑每个定义域内的函数表达式举例一个常见的分段函数是绝对值函数fx=|x|在x geq0时,fx=x;在x0时,fx=-x这个函数在x=0处不连续,因为左边的导数和右边的导数不相等无穷大与无穷小的关系分析无穷大一个数如果比任何有限的数都大,那么就称这个数为无穷大例如,当x rightarrow+infty时,1/x会趋于0,此时可以认为1/x是无穷小无穷小一个数如果比任何非零有限的数都小,那么就称这个数为无穷小例如,当xrightarrow0时,x^2会趋于0,此时可以认为x^2是无穷小关系分析在分析函数的极限时,需要特别注意无穷大和无穷小的关系例如,当x rightarrow+infty时,1/x是无穷小,而e^x是无穷大;当x rightarrow-infty时,1/x是无穷大,而e^x是无穷小THANKS感谢观看。