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《函数极限的概念》ppt课件•引言•函数极限的基本概念•函数极限的运算性质CATALOGUE•函数极限存在的条件目录•无穷小与无穷大•函数极限的应用01引言课程背景函数极限是数学分析中的基本在实际生活中,许多问题都需学习函数极限对于培养学生的概念,是研究函数行为的重要要用到函数极限的知识,如物逻辑思维、分析问题和解决问工具理学、工程学、经济学等领域题的能力具有重要意义课程目标掌握函数极限的基本能够运用函数极限解概念、性质和计算方决一些实际问题,提法高分析和解决问题的能力理解函数极限在研究函数行为中的作用和意义02函数极限的基本概念函数极限的定义函数极限的定义函数极限的几何解释在坐标系中,函数在某点的极限相当函数在某点的极限是指当自变量趋近于函数图像上的一点,当自变量趋近于该点时,函数值趋近于一个确定的于该点时,函数值趋近于该点的切线常数斜率函数极限的数学表达式lim x-a fx=L,表示当x趋近于a时,fx趋近于L函数极限的性质唯一性有界性局部有界性局部保序性对于任意小的正数E,存对于任意小的正数E,存函数在某点的极限存在对于给定的函数和某点,在一个正数X,使得当在一个正数X,使得当时,该点的函数值必定其极限值是唯一的|x-a|X时,|fx|E恒|x1-a|X且|x2-a|X时,是有界的成立有|fx1-fx2|E恒成立函数极限的几何解释当自变量趋近于某点时,函数值趋近于切线斜率在坐标系中,函数在某点的极限相当于函数图像上的一点,当自变量趋近于该点时,函数值趋近于该点的切线斜率切线斜率与函数值的变化趋势切线斜率反映了函数值的变化趋势,斜率越大表示函数值增加得越快,斜率越小表示函数值增加得越慢切线斜率的计算方法通过求导数可以计算出切线斜率,导数表示函数值随自变量变化的速率切线斜率与函数极值的关系切线斜率可以反映函数的极值情况,如果某点的切线斜率为0,则该点可能是函数的极值点03函数极限的运算性质极限的四则运算极限的四则运算性质对于两个函数的极限,有limfx±gx=limfx±limgx,limfx*gx=limfx*limgx,limfx/gx=limfx/limgx应用举例利用极限的四则运算性质,可以求出一些简单函数的极限,例如limx^2+3x-10/x-5,通过将分子和分母分别求极限,得到结果为2极限的复合运算复合运算的性质对于复合函数y=f[gx],若limgx=u,且limfu存在,则limf[gx]=f[limgx]应用举例利用极限的复合运算性质,可以求出一些复合函数的极限,例如limsin x/x,通过将分子和分母分别求极限,得到结果为1极限的运算性质总结01极限的运算性质是函数极限理论中的重要内容,掌握好这些性质有助于更好地理解和应用函数极限的概念02在实际应用中,需要根据具体问题选择适当的运算性质进行求解,有时可能需要综合运用多种运算性质才能得到结果04函数极限存在的条件单侧极限存在定理总结词该定理指出,如果函数在某点的左侧和右侧分别存在极限,则函数在该点存在极限详细描述单侧极限存在定理是函数极限理论中的基本定理之一它表明,如果函数在某点的左侧和右侧分别存在极限,则函数在该点存在极限这个定理对于判断函数极限的存在性非常重要,因为它提供了一种有效的检验方法夹逼定理总结词该定理表明,如果一个函数被其他两个函数夹在中间,并且这两个函数在某点的极限相等,则原函数在该点也存在极限详细描述夹逼定理是函数极限理论中的另一个重要定理它表明,如果一个函数被其他两个函数夹在中间,并且这两个函数在某点的极限相等,则原函数在该点也存在极限这个定理提供了一种通过比较函数值来推断极限的方法柯西收敛准则总结词该准则指出,如果一个数列的每一项都小于等于某个正数,并且这个正数趋向于0,则这个数列收敛详细描述柯西收敛准则是数列极限理论中的基本准则之一它表明,如果一个数列的每一项都小于等于某个正数,并且这个正数趋向于0,则这个数列收敛这个准则提供了一种判断数列收敛性的有效方法05无穷小与无穷大无穷小的定义与性质无穷小的定义无穷小是极限为零的变量即对于任意给定的正数$varepsilon$,存在一个正数$delta$,当$0|x-x_0|delta$时,有$|fx|varepsilon$无穷小的性质无穷小具有可加性、可乘性和幂运算性质无穷大的定义与性质无穷大的定义当自变量$x$趋于某个值或某个区间时,函数值$fx$趋于无穷大,记作$fx toinfty$无穷大的性质无穷大具有可加性、可乘性和幂运算性质无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大互为逆过程一个函数在某点的极限为无穷大时,其倒数函数的极限为无穷小;反之亦然无穷小与无穷大的关系在一定条件下,无穷小和无穷大可以相互转化例如,当函数在某点的导数为零时,该点可能是函数的拐点或极值点,此时函数在该点的极限可能由无穷大变为无穷小或由无穷小变为无穷大06函数极限的应用利用极限求函数的值总结词详细描述利用极限求函数值是一种重要的数学方在数学分析中,函数在某点的极限值通常法,通过将函数在某点的值逼近一个确用来描述函数在该点的行为通过利用极定的数,可以求得该点的函数值VS限的性质,我们可以求得函数在某点的值,即通过计算函数在某点的极限值来得到该点的函数值利用极限证明不等式总结词利用极限证明不等式是数学中常见的一种方法,通过比较两个函数的极限大小,可以证明它们之间的不等式关系详细描述在证明不等式时,我们常常需要比较两个函数的值或大小关系通过利用极限的性质,我们可以比较两个函数的极限值,从而证明它们之间的不等式关系利用极限研究函数的性质总结词详细描述利用极限研究函数的性质是数学分析中常见函数的性质包括连续性、可导性、单调性等的一种方法,通过研究函数在某点的极限行通过利用极限的性质,我们可以研究函数在为,可以了解函数的性质和特点这些性质方面的表现和特点例如,利用极限可以证明函数的连续性和可导性,也可以研究函数的单调性和极值等性质THANKS感谢观看。