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《函数的导数和积分》ppt课件目录•导数的概念•导数的计算•导数的应用•积分的基本概念•积分的应用•积分与导数的关系01导数的概念导数的定义总结词导数是函数在某一点的变化率,表示函数在该点的斜率详细描述导数定义为函数在某一点附近的变化率,即函数在该点的切线的斜率通过极限的概念,可以计算出函数在某一点的导数,从而了解函数在该点的变化趋势导数的几何意义总结词导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率详细描述导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率如果函数在某一点的导数大于零,则该点处的切线斜率为正,函数在该点向上凸;如果导数小于零,则切线斜率为负,函数在该点向下凸导数的物理意义总结词导数在物理中表示物体运动或变化的瞬时速度或加速度详细描述在物理中,导数可以用来描述物体的运动或变化例如,物体的瞬时速度可以通过物体的位移函数的一阶导数得到;物体的瞬时加速度可以通过物体的速度函数的一阶导数得到通过导数的计算,可以更精确地描述物体的运动状态和变化趋势02导数的计算基础导数公式函数y=C的导数dy/dx=0(常数的导数为0)01函数y=x^n的导数dy/dx=nx^n-102函数y=sinx的导数dy/dx=cosx03基础导数公式函数y=cosx的导数dy/dx=-sinx1函数y=tanx的导数dy/dx=sec^2x2函数y=cotx的导数dy/dx=-csc^2x3基础导数公式函数y=secx的导数dy/dx=secxtanx函数y=cscx的导数dy/dx=-cscxcotx导数的四则运算规则加法法则fg+gf=fg+gf除法法则减法法则u/v=u/v=uv-uv/v^2f-g=f-g乘法法则数乘法则uv=uv+uv kf=k*f复合函数的导数链式法则对数函数的导数如果u=gx且u≠0,那么如果y=logax,那么y=1/xlnafu=fu*u幂函数的导数指数函数的导数如果y=x^n,那么y=nx^n-1如果y=a^x,那么y=a^x*lna03导数的应用利用导数研究函数的单调性总结词举例通过求导数,可以判断函数对于函数$fx=x^2$,其导的单调性,进而了解函数的数$fx=2x$,当$x0$增减趋势时,$fx0$,函数单调递增;当$x0$时,$fx0$,函数单调递减详细描述导数大于零表示函数在该区间内单调递增,导数小于零表示函数在该区间内单调递减利用导数求函数的极值详细描述一阶导数为零的点称为临界点或驻点,通过判断二阶导数的符号可以确定该点是否为极值点总结词通过求导数并令其为零,举例可以找到函数的极值点,进而确定函数的最大值对于函数$fx=x^3$,和最小值其导数$fx=3x^2$,令$fx=0$得$x=0$,进一步判断二阶导数$fx=6x$在$x=0$处的符号,确定该点为极小值点利用导数研究曲线的拐点总结词详细描述举例通过求二阶导数并分析其符号变二阶导数为零的点称为拐点或鞍对于函数$fx=x^4$,其二阶化,可以找到曲线的拐点,进而点,通过判断三阶导数的符号可导数$fx=12x^3$,令$fx了解曲线的凹凸性以确定拐点的性质=0$得$x=0$,进一步判断三阶导数$fx=36x^2$在$x=0$处的符号,确定该点为拐点04积分的基本概念定积分的定义010203定积分是积分的一种,是函数定积分的定义基于“分割”、定积分的符号表示为在某个区间上的积分和的极限“近似”、“求和”和“取极∫a,bfxdx,其中a和b是积分限”四个步骤的下限和上限,fx是被积函数定积分的几何意义定积分的值等于由曲线fx与直线x=a、x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积当fx大于0时,定积分表示曲边梯形的面积;当fx小于0时,定积分表示曲边梯形面积的负值定积分的绝对值等于曲边梯形面积的绝对值定积分的性质线性性质∫a,b[k*fx+gx]dx=k*∫a,bfxdx+∫a,bgxdx区间可加性∫a,cfxdx=∫a,bfxdx+∫b,cfxdx积分中值定理若fx在[a,b]上连续,则至少存在一点ξ∈[a,b],使得∫a,bfxdx=fξ*b-a05积分的应用利用积分求面积总结词定积分的基本应用之一是计算平面图形的面积详细描述通过选取适当的积分变量和上下限,将平面图形的面积表示为一个定积分,然后计算该定积分即可得到面积的值利用积分求体积总结词定积分在三维空间中也有广泛应用,可以用来计算旋转体的体积详细描述对于旋转体,可以通过选取适当的积分变量和上下限,将旋转体的体积表示为一个定积分,然后计算该定积分即可得到体积的值定积分在物理中的应用总结词详细描述定积分在物理中有广泛的应用,例如计通过将物理量表示为时间的函数,并对其算变速直线运动的位移、变力做功等求定积分,可以得到变速直线运动的位移VS或变力所做的功等物理量的值06积分与导数的关系微积分基本定理总结词详细描述微积分基本定理是微积分学中的核心定理,微积分基本定理指出,对于一个连续函数它揭示了积分与导数之间的紧密联系fx,其在闭区间[a,b]上的定积分可以通过求fx的原函数(或不定积分),并对结果求值来获得即∫fxdx=Fb-Fa,其中Fx是fx的一个原函数这个定理是微积分学中的基石,它使得我们可以通过求导数来计算定积分,或者通过积分来计算导数的值导数的积分表示要点一要点二总结词详细描述导数的积分表示是一种将导数转换为积分的方法,它有助导数的积分表示是指,对于一个函数fx,如果它在某区间于理解函数的局部性质[a,b]上可导,那么它的导数可以通过不定积分的形式表示为∫fxdx=fx+C,其中C是常数这个公式表明,一个函数的导数在某个区间上的定积分,等于该函数在该区间上的增量加上一个常数这个公式对于理解函数的局部性质非常有用,因为它可以将函数的局部变化率转换为函数的增量积分与微分在计算上的联系总结词详细描述积分与微分在计算上是互逆的过程,它们在运算上具有积分与微分之间的关系是微积分学中的一个基本性质对称性一个函数的定积分可以通过求该函数的不定积分(即原函数),并对结果求导数来获得同样地,一个函数的不定积分也可以通过求该函数的定积分(即在某个区间上的增量)来获得这种对称性使得我们可以在计算中相互转换积分与微分,从而简化复杂的运算过程感谢您的观看THANKS。