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《函数极限与无穷小》ppt课件THE FIRSTLESSON OFTHE SCHOOLYEARCONTENTS目录•函数极限的概念•无穷小的概念•极限的四则运算•重要极限•无穷小与函数极限的关系01函数极限的概念函数极限的定义函数极限的数学表达lim fx=A,表示当x趋近于某点或无穷时,fx趋函数极限的定义近于A函数在某点的极限是指当自变量趋近于该点时,函数值的趋近值函数极限的几何意义函数在某点的极限相当于函数图像上的一点,当x轴上的点趋近于该点时,函数值趋近于该点的y坐标函数极限的性质唯一性有界性对于给定的函数,其在某点的极限是唯一的函数在某点的极限存在时,其值是有界的局部有界性局部保号性当x趋近于某点时,fx的值在某邻域内有界当x趋近于某点时,fx的符号保持不变函数极限的存在性函数极限的存在性对于给定的函数,其在某点的极限可能不存在第一类间断点函数在某点的左右极限存在但不相等,此时函数在该点不连续第二类间断点函数在某点的左右极限至少有一个不存在,此时函数在该点也不连续01无穷小的概念无穷小的定义010203无穷小是极限为零的变量或函无穷小是微积分的基本概念之无穷小是相对于自变量无限趋数一,是研究函数极限和连续性近于某个点或无穷的情况而言的基础的,其值可以是非常接近于零,但永远不等于零无穷小的性质无穷小具有可加性、可减无穷小与常数的乘积仍为性、可乘性和可除性无穷小无穷小是唯一一个既不是无穷小与有界函数的商在常数也不是无穷大的数学一定条件下可能为无穷大概念无穷小的比较同阶无穷小两个无穷小的比值在一定条件下趋于常数,这个常数称为它们的阶数等价无穷小两个无穷小在一定条件下可以相互替换,即它们的比值等于1高阶无穷小一个无穷小是另一个无穷小的更高阶的无穷小,即其阶数更高低阶无穷小一个无穷小是另一个无穷小的更低阶的无穷小,即其阶数更低01极限的四则运算极限的四则运算规则极限的加法规则极限的减法规则若limx→x0fx=A和limx→x0gx若limx→x0fx=A和limx→x0gx=B,则limx→x0[fx+gx]=A+B=B,则limx→x0[fx-gx]=A-B极限的乘法规则极限的除法规则若limx→x0fx=A和limx→x0gx若limx→x0fx=A和limx→x0gx=B,则limx→x0[fx*gx]=A*B=B(B≠0),则limx→x0[fx/gx]=A/B极限的四则运算举例举例101limx→0[2x+sin3x]/[5x-cos2x]=0+0/0-1=0举例202limx→1[1/1-x-3/1-x^2]=1/0-3/0=-2举例303limx→∞2+3/n^n=e^6极限的四则运算应用010203应用1应用2应用3求函数在某点的导数或切线斜率研究函数的单调性、极值和最值解决一些实际问题,如瞬时速度、相对误差等01重要极限重要极限的定义limx-∞x^n/e^x=0n为正整数重要极限三limx-01+x^1/x=e重要极限二limx-0sinx/x=1重要极限一重要极限的性质010203唯一性有界性局部保号性每个极限只有一个确定的极限的值总是存在且在一在某点附近,函数值的符值定的范围内号保持不变重要极限的应用解决复杂函数的极限问题无穷小量计算通过利用重要极限的性质,可以将复杂函数化利用重要极限,可以计算无穷小量,从而得到简为简单函数,从而更容易求得其极限函数的导数和积分等近似计算在某些情况下,可以利用重要极限来近似计算函数的值,提高计算的精度和效率01无穷小与函数极限的关系无穷小是函数极限的特殊情况无穷小是函数在某一点或无穷远处的极限值,是函数01极限的一种特殊情况无穷小表示函数在某点的值无限接近于0,但不等于020无穷小是函数极限的一种表现形式,是研究函数极限03的基础无穷小在函数极限中的应用01无穷小在求函数极限中起到关键作用,通过无穷小可以化简函数的复杂形式02利用无穷小的性质,可以将复杂的函数形式转化为容易处理的形式,从而求得函数的极限03无穷小在解决实际问题中也有广泛应用,例如在微积分、物理、工程等领域无穷小与函数极限的关联性无穷小和函数极限之间存在密切的关联性,无穷小是研究函数极限的重要工具通过研究无穷小的性质和变化规律,可以深入了解函数极限的性质和变化规律无穷小和函数极限的关联性是数学分析中的重要理论,对于理解数学分析的基本概念和原理具有重要意义感谢观看THANKSTHE FIRSTLESSON OFTHE SCHOOLYEAR。