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《微积分极限运算》ppt课件目录•极限的定义与性质•极限的四则运算•重要极限与等价无穷小•函数的连续性与间断点•导数与微分•习题与答案Part极限的定义与性质01极限的定义极限的描述性定义当自变量趋近某一值时,函数值无限接近于某一常数,称该常数为函数的极限极限的精确定义对于任意小的正数$varepsilon$,存在一个正数$delta$,当$0|x-x_0|delta$时,有$|fx-L|varepsilon$极限的性质唯一性有界性局部有界性若函数在某点的极限存在,若函数在某点的极限存在,若函数在某点的极限存在,则该函数在该点的值域有则存在一个邻域,使得在则该极限唯一界该邻域内函数有界极限的几何意义STEP03对于无穷大或无穷小的函垂直直线数,其极限表现为垂直线或水平线STEP02对于常数函数,其极限为水平直线该常数,在坐标系中表现为一条水平直线STEP01点当自变量趋近于某一值时,函数值趋近于某一常数,在坐标系中表现为一个点Part极限的四则运算02极限的四则运算法则极限的减法法则极限的加法法则若limx→a fx=A和2limx→a gx=B,则若limx→a fx=A和1limx→a[fx-gx]=limx→a gx=B,则A-Blimx→a[fx+gx]=A+B极限的乘法法则极限的除法法则3若limx→a fx=A和4limx→a gx=B,则若limx→a fx=A和limx→a[fx*gx]=limx→a gx=BA*B(B≠0),则limx→a[fx/gx]=A/B极限的四则运算性质性质1性质2若limx→a fx=A,且n为正整若limx→a fx=A,则数,则limx→a[fx]^n=limx→a|fx|=|A|A^n性质4性质3若limx→a fx=A,且n为正整若limx→a fx=n,则数,则limx→a n[fx]^n=limx→a[fx]^n=n^nnA^n极限的四则运算应用应用2利用极限的四则运算性质判断极限是否存在例如,判断limx→0+x^2应用1*sin1/x是否存在利用极限的四则运算法则求极限例如,求limx→0[1+sin x^1/n-1]/x应用4利用极限的四则运算应用研究函数的单调性或极值例如,研究函数fx应用3的单调性或极值利用极限的四则运算应用求函数的导数或积分例如,求函数f0Part重要极限与等价无穷小03重要极限的公式与性质重要极限一limx-01+x^1/x=e重要极限二limx-∞1+1/x^x=e重要极限三limx-∞x/e^x/2=0重要极限四limx-∞1+x^n^1/n=e^x等价无穷小的概念与性质等价无穷小是指在一定条等价无穷小具有传递性,等价无穷小具有可加性,件下,两个无穷小量可以即如果无穷小量a与b等价,即如果a与b等价,则a+c相互替换b与c等价,则a与c等价与b+c等价等价无穷小的应用在求极限时,可以将复杂的表达式通过等价无穷小替换为简单01的表达式,从而简化计算过程在求不定积分时,可以利用等价无穷小将复杂的积分转化为简02单的积分,从而快速求解在证明一些数学定理时,可以利用等价无穷小来推导证明过程03Part函数的连续性与间断点04函数的连续性定义与性质要点一要点二总结词详细描述详细描述了函数的连续性定义,包括在某一点连续、区间函数的连续性是指在某一点或某一区间内,函数值的改变内连续和整体连续的定义,并阐述了连续函数的性质,如量趋于零时,对应的自变量的改变量也趋于零根据这个极限性质、四则运算性质和复合函数性质等定义,我们可以将连续性分为三种类型在某一点连续、区间内连续和整体连续此外,连续函数还具有一些重要的性质,如极限性质、四则运算性质和复合函数性质等这些性质在微积分中有着广泛的应用间断点的分类与判断总结词详细描述介绍了间断点的分类,包括可去间断点、跳跃间断点和间断点是函数不连续的点,根据不同的分类标准,间断无穷间断点等,并给出了判断间断点类型的方法点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等类型可去间断点是左右极限相等但函数值不相等的点;跳跃间断点是左右极限不相等但函数值相等的点;无穷间断点是左右极限为无穷的点判断一个点是否为间断点以及判断间断点的类型,需要计算该点的左右极限并进行比较连续函数的应用总结词详细描述列举了连续函数在实际问题中的应用,包括求瞬时速连续函数在实际问题中有着广泛的应用例如,在物理度、求曲线下面积和求变力做功等学中,我们可以用连续函数来描述物体的运动轨迹,并利用连续函数的性质求出瞬时速度和加速度;在几何学中,我们可以用连续函数来描述曲线或曲面,并利用连续函数的性质求出曲线下面积;在工程学中,我们可以用连续函数来描述物体的受力情况,并利用连续函数的性质求出变力做功等这些应用都离不开连续函数的性质和微积分的基本运算Part导数与微分05导数的定义与性质总结词导数描述了函数在某一点的斜率,是函数局部变化率的重要概念详细描述导数定义为函数在某一点的变化率,即函数在这一点上的切线斜率导数具有一些重要性质,如可加性、可乘性和链式法则等,这些性质在微积分中有着广泛的应用微分的概念与性质总结词微分是导数的近似值,用于描述函数在某一点附近的变化趋势详细描述微分是函数在某一点的变化量的线性部分,即函数在该点的切线的长度微分具有线性性质,可以用于近似计算函数在某一点附近的值,以及误差估计等导数与微分的应用总结词详细描述导数与微分的应用非常广泛,包括速度、导数与微分在实际生活中有着广泛的应用,加速度、切线斜率、极值问题等例如计算物体运动的速度和加速度、求函VS数的极值、判断函数的单调性等此外,导数与微分还在经济学、工程学等领域有着重要的应用Part习题与答案06习题部分习题1习题2计算下列极限$lim_{x求下列函数的导数$y=to0}frac{sin x}{x}$x^2+2x+3$习题3习题4判断下列函数的单调性计算定积分$int_{0}^{1}$y=x^3-3x$x^2dx$答案部分答案1$lim_{x to0}frac{sin x}{x}=1$答案2$y^{prime}=2x+2$$y=x^3-3x$在区间$-infty,-1$上单调递减,在区间$-答案31,1$上单调递增,在区间$1,infty$上单调递减$int_{0}^{1}x^2dx=frac{1}{3}x^3Big|_{0}^{1}=答案4frac{1}{3}$THANKS感谢您的观看。