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《向量的内积的概念》ppt课件目•向量的内积定义•向量的内积运算录•向量的内积与向量的模的关系•向量的内积的应用CATALOGUE01CATALOGUE向量的内积定义定义总结词向量的内积是两个向量之间的一种数量关系,通过点乘运算得到详细描述向量的内积定义为两个向量$mathbf{A}=a_1,a_2,ldots,a_n$和$mathbf{B}=b_1,b_2,ldots,b_n$的点乘,记作$mathbf{A}cdot mathbf{B}$,计算公式为$mathbf{A}cdot mathbf{B}=a_1b_1+a_2b_2+ldots+a_nb_n$几何意义总结词向量的内积具有几何意义,表示两个向量在各坐标轴上的投影长度乘积之和详细描述向量的内积可以理解为两个向量在各坐标轴上的投影长度乘积之和,即$mathbf{A}cdot mathbf{B}=|a_1||b_1|costheta_1+|a_2||b_2|costheta_2+ldots+|a_n||b_n|costheta_n$,其中$theta_i$是向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$在第$i$个坐标轴上的夹角内积的性质总结词向量的内积具有一些重要的性质,如交换律、分配律和正定性详细描述向量的内积具有以下性质交换律,即$mathbf{A}cdot mathbf{B}=mathbf{B}cdot mathbf{A}$;分配律,即$mathbf{A}+mathbf{C}cdot mathbf{B}=mathbf{A}cdot mathbf{B}+mathbf{C}cdot mathbf{B}$;正定性,即当且仅当两个向量正交时,它们的内积为零02CATALOGUE向量的内积运算内积的运算规则010203定义长度夹角两个向量的内积定义为它向量的模长可以通过内积两个向量的夹角可以通过们的各分量之间的点乘,来计算,即它们的内积来计算,即即|a|=a·a^1/2cosθ=a·b/|a|*|b|a·b=a1b1+a2b2+…+anbn内积的运算性质01020304交换律分配律数量积的性质正定性a·b=b·a a+b·c=a·c+b·c a·b=0当且仅当a与b垂直对于任何向量a,有a·a≥0,当且仅当a=0时取等号内积的运算技巧坐标表示法投影法向量分解法在二维空间中,可以使用x将一个向量投影到另一个通过向量的分解,将复杂和y坐标来表示向量,从而向量上,可以通过计算两的问题转化为简单的内积简化内积的计算个向量的内积来实现运算03CATALOGUE向量的内积与向量的模的关系向量的模的定义定义几何意义向量$overset{longrightarrow}{a}$的模向量$overset{longrightarrow}{a}$的模定义为$left|overset{longrightarrow}{a}表示它的大小或长度right|=sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...VS+a_{n}^{2}}$,其中$a_{1},a_{2},...,a_{n}$是向量$overset{longrightarrow}{a}$的分量向量的模的性质非负性$left|overset{longrightarrow}{a}right|geq0$,且当且仅当$overset{longrightarrow}{a}$是零向量时,$left|overset{longrightarrow}{a}right|=0$三角不等式$left|overset{longrightarrow}{a}+overset{longrightarrow}{b}right|leq left|overset{longrightarrow}{a}right|+left|overset{longrightarrow}{b}right|$共线性如果存在实数$k$,使得$overset{longrightarrow}{a}=koverset{longrightarrow}{b}$,那么$left|overset{longrightarrow}{a}right|=|k|left|overset{longrightarrow}{b}right|$向量的内积与向量的模的关系•点乘的性质$\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}{b}=\left|\overset{\longrightarrow}{a}\right|\cdot\left|\overset{\longrightarrow}{b}\right|\cdot\cos\theta$,其中$\theta$是向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$之间的夹角•点乘与模的关系如果$\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}{b}=0$,那么$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$垂直,即$\cos\theta=0$,从而$\left|\overset{\longrightarrow}{a}\right|=|\overset{\longrightarrow}{b}|=0$•点乘与模的运算律如果$\overset{\longrightarrow}{a}=k\overset{\longrightarrow}{b}$,那么$\left|\overset{\longrightarrow}{a}\right|^{2}=k^{2}\left|\overset{\longrightarrow}{b}\right|^{2}$04CATALOGUE向量的内积的应用向量的内积在几何中的应用向量的长度计算01通过向量的内积,可以计算向量的长度或模具体地,对于向量$mathbf{a}=a_1,a_2,...,a_n$,其模为$sqrt{mathbf{a}cdotmathbf{a}}$角度计算02两个向量的夹角可以通过它们的内积来计算具体地,两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的夹角的余弦值为$frac{mathbf{a}cdotmathbf{b}}{|mathbf{a}|cdot|mathbf{b}|}$向量的投影03一个向量在另一个向量上的投影长度可以通过它们的内积来计算向量的内积在物理中的应用力的合成与分解在物理中,力的合成与分解可以通过向量的内积来实现例如,一个力$mathbf{F}$在某个方向上的分力可以表示为$mathbf{F}cdot frac{mathbf{d}}{|mathbf{d}|}$,其中$mathbf{d}$是该方向上的单位向量动量与冲量在经典力学中,物体的动量和冲量都是向量,它们的计算涉及到向量的内积能量与力矩在一些物理问题中,能量和力矩的计算也涉及到向量的内积向量的内积在数学分析中的应用函数梯度的计算01在数学分析中,函数的梯度是一个向量,其计算涉及到向量的内积例如,对于一个二维函数$fx,y$,其梯度在某点$x_0,y_0$可以表示为$frac{partial f}{partialx}x_0,y_0,frac{partial f}{partial y}x_0,y_0$求解微分方程02在求解微分方程时,常常需要计算函数的导数,这涉及到向量的内积例如,对于一个二元函数$fx,y$,其偏导数$frac{partial f}{partial x}$的计算就涉及到向量的内积求解积分方程03在求解积分方程时,常常需要计算函数的积分,这涉及到向量的内积例如,对于一个二元函数$fx,y$,其在某个区域上的积分计算就涉及到向量的内积THANKS感谢观看。