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《函数极值导数》PPT课件目录•函数极值的基本概念•导数与极值的关系•极值的应用•极值问题的求解方法•习题与答案01函数极值的基本概念极值的定义极值01函数在某点的值大于或小于其邻近点的值,称为该函数在该点有极值极大值02函数在某点的值大于其邻近点的值,称为该函数在该点有极大值极小值03函数在某点的值小于其邻近点的值,称为该函数在该点有极小值极值的判定条件一阶导数测试若一阶导数在某点的值为零,且在这一点两侧的符号相反,则该点为极值点二阶导数测试若二阶导数在某点的值为零,且在这一点两侧的符号相反,则该点为极值点无穷间断点测试若函数在某点的左右极限不相等,则该点为极值点极值的性质局部性可加性极值只在其定义域的某个子区间内有效,即极两个极值的和仍为极值,极大值与极小值相加值是局部最优解等于常数可乘性两个极值的乘积仍为极值,但极大值与极小值的乘积不一定为常数02导数与极值的关系导数的定义与计算定义导数描述了函数在某一点处的切线斜率,即函数在该点的变化率计算方法通过极限定义,利用极限的四则运算法则和复合函数求导法则进行计算导数与极值的关系极值点判定定理如果一个函数在某点的导数为零,则该点可能是极值点单调性判定定理如果一个函数在某区间内的导数大于零,则函数在该区间内单调递增;如果导数小于零,则函数单调递减单调性与导数单调递增如果函数在某区间内的导数大于零,则函数在该区间内单调递增单调递减如果函数在某区间内的导数小于零,则函数在该区间内单调递减03极值的应用最大值与最小值问题最大值与最小值的概念函数在某区间的最大值和最小值是指在该区间内,函数值分别达到最大和最小的点求解方法通过导数研究函数的单调性,确定函数的极值点,从而求得函数的最大值和最小值应用实例如求某个经济问题的最大利润,或者某个工程问题的最小成本等优化问题010203优化问题的概念导数在优化问题中应用实例的应用优化问题是在满足一定条件下,利用导数研究函数的单调性和凹如生产计划优化、投资组合优化寻找使目标函数取得最大或最小凸性,找到使目标函数取得极值等值的变量值的点,从而解决优化问题极值在实际生活中的应用极值在实际生活中的意义极值理论在解决实际问题中具有广泛应用,如经济、工程、物理等领域极值在实际生活中的应用实例如建筑设计中的结构优化、金融投资中的风险控制、物理学中的力学问题等极值理论的发展前景随着科学技术的发展,极值理论的应用领域将更加广泛,为解决实际问题提供更多有效的方法和工具04极值问题的求解方法代数法总结词01通过代数运算找出极值点详细描述02通过观察函数的表达式,利用代数方法(如因式分解、配方等)找到可能的极值点,然后进行验证适用范围03适用于简单的函数,对于复杂函数可能计算量大且不易找到极值点导数法总结词利用导数判断函数单调性进而求极值详细描述适用范围求出函数的导数,通过导数的正负判断函数适用于所有可导函数,是求解极值问题的常的单调性,进而确定极值点用方法微分中值定理法总结词详细描述适用范围利用微分中值定理求极值利用微分中值定理(如费马定理、适用于具有特定性质的函数,如罗尔定理等),结合函数的性质,连续、可导等推导出极值点的存在性和性质05习题与答案习题判断题如果函数在某点的导数大于0,则该点为函数的极小值点()选择题函数fx在x=a处取得极大值,则fa()填空题函数fx在区间a,b上可导,fx在a,b上单调递增,则fx在a,b上()计算题求函数fx=x^3-3x^2在区间-2,2的极值点答案判断题答案选择题答案填空题答案计算题答案错如果函数在某点的C函数fx在x=a处取单调递增或单调递减首先求出函数导数大于0,只能说明得极大值,则fa=0,由于fx在a,b上单调fx=x^3-3x^2的导数函数在该点附近是增函并且fa0因此,递增,根据导数的几何fx=3x^2-6x,令数,但不能确定该点为选项C是正确的意义,函数fx在a,b fx=0解得x=0或x=2函数的极小值点函数上的图像是凹凸不平的,在区间-2,0上,的极小值点还需要满足因此fx在a,b上可能fx0,函数fx是减在该点的左侧导数小于是单调递增或单调递减函数;在区间0,2上,0,右侧导数大于0fx0,函数fx是增函数因此,当x=0时,函数fx取得极小值;当x=2时,函数fx取得极大值所以,函数fx=x^3-3x^2在区间-2,2的极值点为0和2THANKS感谢观看。