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高数知识点总结下册——北雁友情提供向量代数与空间解析几何空间直角坐标系卦限三个坐标面把空间分成八部分,每一部分即为一个卦限上下同为逆时针空间两点间的距离=,区-必+仁-d MY+%-2Zj2向量代数向量概念略向量的表示法几何表示法有向线段向量相等模相等、彼此平行且指向相同逆向量与向量大小相等而方向相反的向量称为的逆向量a a单位向量模为1-零向量模为记为零向量方向不定,也可以说任意30,向量的加、减法与数的乘法向量加法规则平行四边形法则两向量、、的和是以丸、为邻边的平行四边形的对角线,即向量0%0ACB记为=+如右图048三角形法则见图如右侧向量加法运算规律1a+b=b+a2a+b+c=a+b+c3a+0=a4a+-a=0向量减法即向量加法的逆运算数与向量的乘积数量彳与向量的乘积是一个向量,记为%a a的模等于与的乘积,即二2a|a|1X1|%a||;l||a|的方向当;时,与同向;当;时,与反向;时,它是零向量4a10a10a4=0数量与向量的乘积规律对数量分配率12//a=2//a2%+〃@=71@+//@=;对向量分配率34a+b la+Xb单位向量把与同向,模为的向量叫做的单位向量,记为a1aa显然有〃a或a=1।a=|a|向量在轴上的投影见书.向量的坐标表示向量的模次+《+I I=Z设是由有向曲线弧和弧组成,则有曲线分段3L LIL2£Pdx+Qdy=£Pdx+Qdy+£Pdx+Qdy对坐标曲线积分的计算x—pit、设曲线由参数方程给出,1L L,工,〈尸,夕,“⑺,具有一阶连续导数,对的起t=a Ly=⑺点,对的终点,当由变到时,曲线上的对应点恰好画出曲线函数在上连续,则有[,t=b Lt a b L,Px,,y,Qx,y LPJ[丁公+乂P[⑺,〃⑺]⑺+⑺+-⑺]〃⑺}力坐标曲线积分计算公式ydy=、设曲线以方程产给出2L fxX,ydx+2X,ydy=£{P[x,/%]+Q[xfx]fx}dx9格林公式平面曲线积分与路径无关的条件定理设在单连通域内及其边界上具有连续的一阶偏导数,则Px,y,Qx,y DlL乩(詈-皆(取正向)平面曲线积分与路径无关的条件£P(x,y)dx+Q(x,y)dy-dxdy)L定义设函数在区域内具有连续的一阶偏导数如果对于内任意指定的两点以及内任Px,y,Qx,y D D A,B D意两条曲线乙=AmB L=等式[Pdx+Qdy=^Pdx+Qdy恒成立,则除曲线积分2结论如果曲线积分[公+办与路径无关,即由曲线积分性质得£Pdx+Qdy=£Pdx+Qdy乙公+在内与路径无关,反则04Df Pdx+Qdy=-f Pdx+Qdy,上式可化为JL J—LQPdx+Qdy+j Pdx+Qdy=0即£L重要结论曲线积分在内与路径无关等价于沿内任意闭曲线得曲线积分jPdx+Qdy11D C定理设函数在单连通域内具有一阶连续偏导数,则在内曲线积分与路Px,y,Qx,y D D Pdr+Qdy径无关的充要条件是等式——二——在内恒成立D dydx无穷级数无穷级数的概念见书页等比级数几何级数202872-1结论等比级数z aq当公比q的绝对值|q|l时,收敛;qNl时发散n=\无穷级数的基本性质800Z性质
一、如果级数L收敛,其和为为常数,则级数也收敛,其和为S,k£kUn kSn=\n=\性质
三、在级数前加上或去掉有限项,不影响级数的敛散性,只是当级数收敛时,加上有限项或去掉有限项,一般会改变级数的和级数收敛的必要条件00如果级数收敛,则n=\8oo注意如果级数可能收敛,也可能发散Zu”〃一8〃=1正向级数00概念如果%,则称级数为正向级数20〃=1,2,3,・・・n=\正向级数收敛的必要条件它的前项和数列有上界n{S}n正向级数收敛性的判别法、比较判别法10000设£〃〃=%+£匕=匕+%+…+匕+=
②为两个正向4++u+=s
①,7nn=\n=\级数,则有如果级数
②收敛,且〃〃匕,〃=则级数
①也收敛11,2,3,…,如果级数
②发散,且⑸匕/〃=「,则级数
①也发散221,2,3・・比较判别法的极限形式00007/0000设与是两个正向级数,如果则级数与同时收敛或£vn EXV n=\n=\n=\n=lnn—oo同时发散比值判别法达朗贝尔判别法
③20〃=1,2,3,・・・,n=\前项之比的极限存在,即则lim5=q,Un当〈时,级数
③收敛
(1)q l当时,级数
③发散
(2)ql当时,级数
③可能收敛也可能发散根值判别法(柯西判别法).
(3)q=loo如果正向级数通项的次方根的极限存在,即则n=q,n=\oo Y当〈时,级数收敛当〉时,级数发散当时,级数可能收敛也可能发散要判定一个
(1)q l
(2)q l
(3)q=l正向级数是否收敛,通常按下列步骤进行oo用级数收敛的必要条件如果则级数发散,否则进一步……
(1)Xu”7Z—XX)n=l用比值判别法(有时也用根值判别法)
(2)如果吐则比值判别法失效,则改用比较判别法lim%=1,…un用比较判别法
(3)掌握一些敛散性已知的函数,如等比级数,级数等交错级数P-oo〉:1(-1)U+%-〃4+…
①fln=\交错级数收敛性的判别法(莱布尼茨定理)如果交错级数
①满足条件(〃=则级数
①收敛,其和〃一8
(1)%u1,2,3,…),
(2)lim〃=0,Sun+]]9其余项乙的绝对值I r|un n+i00绝对收敛与条件收敛〃+…
②为任意项级数,其各项取绝对值,则得到正向级数〃二=%+〃2+…・・・+E100£|1=1I+I〃2I++|〃|+…
③n=\定理如果级数
③收敛,则级数
②也收敛Q0Q0定义如果级数收敛,则称级数为绝对收敛级数I Zu”n=\n=\000000如果级数收敛,而级数发散,则称级数口口为条件收敛级数Ell”Zl Zn=\n=\n=\0000000000注意对于任意级数,如果£|吃收敛,则绝对收敛;但当发散时,只能判定Z3I Zn=\n=\n=\n=\n=\0000非绝对收敛,却不能判定它必发散但如果用比值法判定|发散,则级数也发散Zun=\n=\定理如果任意项级数»〃00=%+如+.+〃〃+…满足条件lim|〃一8n=\小则U5|=n当时,级数绝对收敛
(1)ql当时,级数发散
(2)q1塞级数函数项级数的一半概念(见书页)惠级数及其收敛性(见书页)22622700正向级数|=|《)|++1+…+|a〃x〃1+…,记当n充分大时,a0,且nn=0|41L||||,则三—X二/|X于是lim|W|=2,11l4±L|=iim|=iimm00n〃-8a,1〃-u axatl nn18如果即则级数/〃2|x|l,|x|,=R,°n=0+…
③绝对收敛=a+q x+a/2+・・・+当时,有下列两种情况2w0如果即〉』=则级数
③发散2|x|l,|x|R,推论只要是个不为的正数,就会有一个以原点为中心的对称区间(-!」),在这个区间内幕级数绝对收敛,在这20个区间外幕级数发散,当,时,察级数可能收敛也可能发散,称为基级数
③的收敛半x=±7=’,H£径当时,级数
③对于一切实数都绝对收敛,这时规定收敛半径2=02|x|=0l,X H=+s如果哥级数
③仅在一点处收敛,则规定收敛半径x=0R=o定理如果幕级数
③的系数满足也|=则…%lim|42当时,
(1)0〃+8R=-当时,
(2)2=07=+oo当
(3)1=+8,R=0塞级数的收敛区间00定义设幕级数
③的收敛半径为且如果幕级数
③在二处级数收敛,而在R,0R+8,x Rx=-R n=0处级数〃一发散,则幕级数
③在区间上收敛,这个区间称为基级数
③的收敛区间Z R〃-R,R]-R,R]«=0推论幕级数
③的收敛区间为或或如果幕级数
③的收敛半径则它的收[-R,R,-R,R,[-R,R],R=+s,敛区间为-«,+8,如果幕级数
③的收敛半径则收敛区间化为一点R=0,x=
0.塞级数的性质性质
一、设二募级数分别在—一区内绝对收敛,其中有Ri RP,2,r2Rl0,R20,2+ax+ax+…++・・・=/x12对于这两个幕级数,可进行下列运算2n加法:%+bx^bx-\1-bx+・・・=gx1y2n2n4+%+《+4x+十2+b2x+・・・+〃〃+b nx+•••=fx+gx减法2一%+一々工+2++〃-n012-bx・・・bx+・・・=/x—gx2n乘法3%%++2即也一------------------------n4+,%x4++a2box+—12+41ab x4—=fx-gxn Q2性质
二、设募级数++…+《/〃+…其收敛半径则幕级数的和函数=/X,R0,fx在内是连续的-R,R性质
三、设塞级数旬++〃/+…=/幻,其收敛半径为则在区间内这个级数可以逐项求导,即6*+%,+…R,-R,R1•।21n2n—116/+〃/+ax H1-ax+--=+2ax+3a xH1-nax~H—=f%2n2t n性质
四、设塞级数旬+其收敛半径为则在区间内的任…+%/+…=/X,R,-R,R,何闭区间上这个级数可逐项积分,即当是,有-RvxR6Z6/+£X2n,即j axdx+^axdx-\1-j axdx-\—=£f{x}dx0}2nax+—x~+—x3H卜a〃x〃+i T—=f fxdx,且收敛半径为R[°23n+1J函数展开成幕级数泰勒级数见书页235函数展开成基级数:直接展开法和间接展开法直接展开法把展开成的幕级数,如下步骤最基本方法fx x求出的各阶导数…厂1fx f\x\fx,x…计算及其导数在点处的值,2fx x=0/0,/0,7”0,・・・/〃0・・・△+…+-;写成幕级数并求出它的收敛区间3/0+/Ox+2^・/Z・考察当在收敛区间内时余项此的极限是否为零,如果为零,则由式所求得的事级4x7x3数就是的幕级数的展开式fx类似得到下述函数的的基级数展开式x19n1=1+x+x+,••+x+,,•-1,11—X当为实数时2m
八、m1mm-l mm-Vm-2mm-1•--m-n+1〃.23l+x〃=l+mx+--x1+--x3++--x,2+・♦•它的2!3!M收敛半径在处,展开式是否成立,要据的数值看右端级数是否收敛而决定R=l,4±1m=1—X+尤?—+・.,+—]+…,-[,1当m=-l,时\+X间接展开法变量置换法对已知的级数进行变量置换而得所需募级数展开式1逐项求导法2首先找出所给函数是哪个已知级数的和函数的导数,然后利用逐项求导公式幕级数的性质三得到所需要的累级数展开式逐项积分法函数的幕级数展开式的应用见书页;欧拉公式见书页3241242微分方程概念含有未知函数的导数或微分的方程微分方程的阶微分方程中的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解若将某个函数代入微分方程,能使方程两端相等,则称这个函数为该微分方程的解通解如果微分方程中的解中含有任意常数的个数等于微分方程的阶数,这样的解称为微分方程的通解微分方程的初始条件用来确定通解中任意常熟的条件叫做定解条件,若给出时的条件,则为初始条件t=0ds—小=0at特解有初始条件确定了通解中的任意常数后所得到的解一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为Fx.y.y=0若能解出,则方程称为导数已解出的一阶微分方程y y=fx,y一阶微分方程对称形式%Px,ydx+ydy=0可分离变量的微分方程若一阶微分方程可化为二的形式,则原方程称为可分离变量的微分方程gydy fxdx若都是连续函数,设分别为的一个原函数,则对方程两端积分得gy,fx Gy,Fx gy,fx2J gy力=j于xdx,即G y=F x+C3由式所确定的隐函数尸就是方程的通解3yx2注意在解微分方程时,若得到一个含有对数的等式,为了利用对数的性质将结果进一步花间,可将任意常数写成左的形式,的值可根据实际情况来确定齐次方程C InC k如果一阶微分方程包=中的函数可化为的函数,即/羽称这种方程为齐/x,y fx,y2y=0h,dx x x次方程齐次方程通解的求法将所给方程化为电=/羽式1y4dx令〃=,则丁=%,血=〃+不,代入方程,得到可分离变量的方程%包=夕〃一〃24x dxdxdx分离变量后两端积分得求出积分后,再用上代替便得齐次方程通解3f fu,JJp[u}-u XX一阶线性微分方程方程包+〃称为一阶线性微分方程其中都是已知的连续函数,这里方程中xy=Qx6px,Qx dx的未知函数及导数也都是一次的,称为自由项y Qxdx若三方程变为电称为一阶线性齐次微分方程X06+pQy=O7dx若则称为一阶线性非齐次微分方程Qx w0,一阶线性非齐次微分方程通解的求法如下先求一阶线性齐次方程的通解,将方程分离变量,得两端积分,的方1773=-pxdx,y程的通解为即7In y=-Jpxdx+ln C,y=ce利用常数变量法球一阶线性非齐次微分方程的通解一心通解26y=e1参考过程详见书页可降解的高阶微分方程270,⑺=/%型微分方程这类微分方程的右端仅含有自变量因此,只要连续积分次,即可得到方程的含有个任意常X,n y⑺=/%n数的通解=/%,、型微分方程y这类微分方程不显含未知函数只需设则从而将所给方程化为一阶微分方程y,P=y,y=@^=P dxIII型微分方程这类方程不显含自变量y=/-y x设且把看做的函数,则有丫,=史=虫=吧从而将所给方程化为一阶微分方P=y y y pdxdydxdydP程尸丁=/y,Pdy二阶线性微分方程解的结构微分方程尸称为二阶线性微分方程,其中都是连续函数y”+xy+Qxy=/x1Px,Qx,f x当时,方程称为二阶线性非齐次微分方程/xwO1当/幻=时,方程称为二阶线性齐次微分方程0y+Pxy+Qxy=O2二阶线性齐次微分方程解的结构定理如果以幻,%是方程的两个解,则.=理必%+也是方程⑵的解,其中22%%CL是任意常数C2结论线性齐次微分方程的解具有叠加性当%%,%%是方程的解时,是方程的解,但不一定是方程的通解2C%%+C2y2%22定义设%=%刈与乃二%幻是定义在某区间内的两个函数,如果存在不为零的常数使得k,三⑷=成立,则称以戏为在该区间内线性相关,否则称函数以在该区间内线性无关k1nyx2以X定理如果函数为是方程的两个线性无关的特解则就是方程yx,x2y=Gyx+C2y22的通解,其中是任意常数Cl,C2二阶线性非齐次微分方程的解得结构定义如果是二阶线性非齐次微分方程的一个特解,又丫=是方程y*=/116%X+2y2=G+所对应的齐次方程的通解,则丁=丫+丁*M XC是方程的通解122y2©+y*x3i定理如果是二阶线性非齐次方程=力的特解,而是二阶线性非y;x y+P{xy+Qxy x y;x齐次方程的特解,贝是方程y+Pxy+Qxy=/2IV*=y;x+y;x力%+的特解y+Pxy+Qxy=/x2二阶线性常系数齐次微分方程概念如果二阶线性齐次微分方程中的均为常数,即方程y+Pxy+Qxy=O Px,Qx中的为常数,即称方程为二阶线性常系数齐次微分方程特征方程.y+py+qy=O
(1)p,q
(1)对=二求导,得rx=〃/=将代入方程得而y y=re,y
(1)(,+q)=0,0,+所以2r+pr+q=0
(2)(由此可见,只要满足方程函数就是微分方程的特解,方程是一元二次代数r
(2),y=/
(1)
(2)方程,有两个根和其中与正好是微分方程中与的系数,我们称方程为微分方程的特rl r2,p q
(1)yy
(2)
(1)求二阶现行常系数其次微分方程y+py+qy=O通解的步骤如下写出相应的特征方程/+
(1)+q=0求出特征方程的两个特征根及
(2)rl r2根据特征根的不同情况,写出微分方程
(3)
(1)的通解便于记忆,列表如下特征方程/+的二根tt1p〃+9=0rl,r2y+py+qy=0二不等实根八丫2x vy=C^+Ce2二相等实根rl=r2=rrxy=G+Cxe2二共胡复根七甲t\2=a/3+Cy=*G cosX sin0x2二阶线性常系数非齐次微分方程方程y++4)=/(x)称为二阶线性常系数非齐次微分方程,其中为常数,
(1)p,q一犯一土征方程,其中和称为特征根入「=)(有三种情况,据△=(),详课本页)rl r2285H f一一已经会求,现只要求的特解Y,y=Y+y,Y
(1)y)的形式与方程右端的自由项的形式密切相关y*f(x)若具有下面两种常用形式之一时,我们可用待定系数法求f(x)y*其中;为常数,匕为的次多项式
(1)I(X)X m它所对应的齐次方程为(只要求出本身一个特解和它所对应的的通解y+py+qy=0
(2)
(1)y’
(2)次多项式结论如果/%=则微分方程有如下形式的特解,一=%小如果巴其中2cxe,11当不是特征方程的根Q x团幻是与小同次的多项式,其系数待定,而攵=1,当X是特征方程的单根2,当4时特征方程的二重根、型/x=coswx+P xsin wx]n如果Zx,则微分方程⑴有如下形式的特解/x=e[Pxcoswx+Pxsin wx]{nk AX,其中帆均为次多项式,次数其y*=xe[Q%cos wx+R xsinwx]x,R〃[x,m m=max{//}m m当%土而不是特征根NM/1°,系数符;而人=《口’十皿E,r[1,当X±加是特征根国匕其中为常数,耳)和分别为的次和
1.J-++z;2―两向量互相垂直的充要条件是玉%2+M%+Z]Z2=0两向量的向量积\c\=\a\\b\sma,b的模C定义两向量与的向量积食一个向量记为二abc,c a・b的方向垂直于和即垂直于与决定的平面向量积运算规律见书页C ab,c ab17
(1)aXb=-bXa结论两个非零向量与互相平行的充要条件是二abaXb O推论iXi=O jXj=O kXk=O向量积的坐标表示a-h=(yz-zy)i+(zx-xz^j+{xy-yx)k[2[2[2x x2x2%=2L=刍_两向量平行条件坐标表达式0%平面及其方程曲面方程概念(见书页)21平面的点法式方程A(%-%)+3(y-%)+C(z-Z)=°(设加°食)为平面的任意一点,向量为平面的一个法线向量)0%*n={A,B,C}平面的一般式方程(其中不同时为零)Ax+BY+Cz+D=O A,B,C重要结论平面方程中,如缺中的某一项,平面就平行或通过某个轴,如缺其中两项,则平面x,y,z(D=0)就平行或重合与那两项所决定的坐标平面(D=0)平面的截距式方程-+^+-=1abc两平面的夹角及平面平行、垂直条件两平面的夹角公式两平面法线向量分别为%={%,与,={人CJ,%2,32,2}A.A.y+BB2+C,Cycosy=/I_I=+B+C;两平面垂直的充要条件坊与+a4+G2=oABC两平面平行的充要条件」=」=A BC222空间直线及其方程直线参量式方程设有一点“)及一个已知向量=〃+句+〃左不5x-x=2/()全为零)机v y-y()=2z-z=An0直线的标准式方程二』二=三二(条件同参量式方程)=21Imn[Ax+B y+Cz+D=0le直线的一般式方程\111(直线为两平面交线)1^2%+By+C z+=0两向量夹角余弦公式:cos6=+机;_|_〃:个冠J・I;+7711+空间两直线的夹角及直线平行、垂直条件两直线垂直的充要条件I/+mm+nn=0x2x2/m n两直线平行的充要条件合=」=」几/m222直线与平面的夹角及平行、垂直条件%一匹二y—y=z-z直线标准式方程:LImn平面的方程为Ax+By+Cz+0=0|Al+Bm+Cn\直线与平面夹角的正弦为sin9=222222ylA+B+C-7/+m+n直线与平面垂直的充要条件一=一=工直线与平面平行的充要条件ABC Imn多元函数微分学Al+Bm+Cn=0二元函数的定义见书页点函数的概念同上59二元函数定义域见书页几何定义,极限二元函数的连续性61定义设函数在点打的某一邻域内有定义,如果当点趋于点々/,打时,函数z=/x,y44,Px,y z=fx,y的极限等于于在点%,%处的函数值/%,%即/%,%,称x,y Plim/x,y=Q0函数在点州处连续/x,y4,/表示形式二凡全增量Az=/x+Ar,+Ay-/x,00定义二设函数在点乙%,汽的某一邻域内有定义,若则称函数z=fx,y limAz=0,z=/%,yAr-02—0在点处连续4%,Vo最大值与最小值定理若函数在有界闭域上连续,则在上一定取得最大值和最小值,即如下结论/x,y I/x,y D在上至少存在一点©,〃],恒有工/咯,羽丁£1D/%,y7在上至少存在一点蜃,%,恒有/羽之羽,£2D y/2,〃2介值定理若函数在有界闭域上连续,则在上必取得介于函数最大值和最小值之间的任何值/(X,y)D DM meDmuM多元初等函数在其定义域(是指包含在定义域内的区域)内是连续的偏导函数概念(见书页)(几何意义)69高阶偏导数22定理如果函数=/(羽在域上二阶混合偏导数工-二,二二连续,则在该区域上必有z y)Ddxdydydx22dz_dz
2、、dz...d/Oz,,ddz人%zKT=y=—~dy dy密Q-云dydxdydydx全微分及其应用全微分概念(见书页)79定理如果在点)处可微,则它在点处连续z=/(x,y)(4,y(%,%))定理如果函数羽在点为)处可微,则在该点处羽的两个偏导数存在,并且z=/(y)(%,/(y)=人/40,8=4/,%全微分计算公式或d=/x,y dx+/x,dy dz=—dx+—dyoxdy7v00v0定理设在点(羽的某邻域内偏导数、力存在,且人(%»)、刀鱼》)连z=/(x,y)y)1(x,y)(x,y)续,则函数在点处可微z=/(x,y)(x,y)推论偏导数连续,函数一定可微:函数可函数可微,偏导数一定存在微,函数一定连续复合函数的微分法定理设函数〃=夕(羽口羽丁)在点(羽处有偏导数,而函数=/(〃#)在对应点处y),=0(30z(u,v)Sz dz有连续偏导数,则复合函数〃(%»)]在点处有偏导数一和丁,且z=/[°(x,y),(x,y)oxdydz_dzdudzdvdxdudxdvdx(多元复合函数偏导数的基本公式)dzdudv、、这三个函数都是的一元函数,故对的导数写成Z UV XX dr.dx.dx全微分形式不变性Sz Sz一阶全微分的形式不变性dz=—du+—dvdu dv全微分的运算公式一=uvdu—udvdu±v=du±dv du*v=udv+vdu dvWOV V复合函数的高阶偏导数见书页.95隐函数微分方法将尸带入于是有恒等式其左端可以看成的复合函数,两端对求导,f xF x,y=0,F[x,f x]=O,xx得电.如果贝有电二一上三Fx+Fy=0FyWO UdxdxFy由方程所确定的隐函数求导公式F x,y=0y=fx由方程所确定的隐函数的偏导数的公式Fx,y,z=0z=fx,y将带入方程于是得恒等式左端可以看做是的复合函数,上z=f x,y Fx,y,z=0F[x,y,f x,y]=0x,y式两端分别对和求偏导得xy/口dz dz.dzdz dzFxdzFy-------------Fx+Fz——0,Fy+Fz—=0右Fz WO,出—,—信—=----------------------,—=dx dydxdydxFzdyFz多元函数微分方法在几何上的应用空间曲线的切线与法平面见书页103一:曲线在点%处的切线方程二L z—o工00Z曲线在点的法平面方程L xtx-Xo+yty-y+ztz-z=O000o空间曲线的切平面与法线曲面在点%处的切平面方程S工工一篦%0,-0*0%—:0+%%0,%/0\0+0,%02—20=多元函数的极值设函数在点庶%,凡的某一邻域内有定义,若对于该邻域呢异于点勺孔的任何点Z=fx,y0,Px,y恒有或则称点外为函数的极大值点或极小值点f x,yf x,yfx,y f x,y4%,fx,y0000定理设函数在点处去得极值,且在该点的偏导数存在,则函数在该点的两个偏导数必z=x,y xo,y0为零即,,,八/极值点的必要条件/»0=0=驻点使人人,羽同时成立的点称为函数的驻点X,y=0,y=04,%fx,y推论在偏导数存在的条件下函数的极值点必是驻点驻点不一定是极值点定理设函数在点%,%的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数,假定点是函数的一个驻点即z=fx,y x0,y0力,办(工丁记B=/盯,为))则有如下结论(x()y0)=00)=A=«x(),y())c=f(%,yyy0Q
(1)5-AC0,当A0时,(/,孔)为极大值点,/(与,方)为极大值;当A0是(/,打)为极小值点,/(%,凡)为极小值2/(%,加)不是极值
(2)B-AC092/(%,%)可能是极值,也可能不是极值
(3)B-AC=Of多元函数的最大、最小值问题(113页)条件极值与拉格朗日乘数法重积分二重积分的定义(见书126页)注意jjyda=Di=l二重积分是个极限值,因此是个数值,这个数值的大小仅与被积函数/(九,丁)及积分区域有关,而与积分I)变量的记号无关二重积分存在定理如果函数在闭域上连续,则函数在上可积,即二重积分存在二重积分/(x,y)D/(x,y)D的几何意义如果函数则二重积分在数值上等于以函数片/(羽所确定的曲面为顶,以/(x,y)2O,y)D积分域为底的曲顶柱体的体积D二重积分的性质性质
一、函数和(或差)的二重积分等于多个函数的二重积分的和(或差),即jj(羽y)±g(x,y)]da=jjf(x,y)da±jj g(x,y)da性质
二、被积函数的常数因子,可以提到二重积分号的外面,即jj k于(x,y)d(y=,于(x,y)db(左为常数)D D性质
三、如果积分区域分为两个区域和即则D D1D2,D=D1+D2,JJ/(X,y)do=jj f(x,y)do+jj/(x,y)daD2性质
四、如果在D上,/x,y0,则,JJ fx,ydcr0D性质
五、如果在D上,/x,jgx,JO Jj/X,ydaJJgx,yda由性质五得到结论:do性质
六、(估值定理)设和分别为在闭域上的最大值和最小值,则“,M m,f(x,y)DD其中为积分域的面积D性质
七、(二重积分中值定理)如果在闭域上连续,b是区域的面积,则在上至少存在一点/(x,y)DDD(,)使得下式成立Jj/(%,y)da=/C,D二重积分的计算二重积分在直角坐标系下的计算方法JJ/%,ydxdy=£办/23/羽ydyD(公式)基本原则画出积分区域的图形(详见书
(1)D133)找的下限累次积分方法
(2)x,y求值(套用公式)
(3)注意二重积分化为二次积分时,二次积分的上限必须大于下限二重积分在极坐标系下的计算方法二重积分在极坐标系下的表达式jj/rcos^,rsin OrdrdO于(X,y)da=DD二重积分化为在极坐标系下的要点是将被积函数中的换成
(1)x,y x=rcos6,y=rsin面积元素•换成极坐标系下的表达式必%/
1、平面曲线L由参量方程给出若L=7=⑺w WY6,其中0⑺〃⑺,在区间[d01上具有一阶连续导数,且y=〃⑺[⑺『+[〃«/,0,又fx,y在L上连续,则有二x,yds=,fl他⑴他I+〃/y力
2、平面曲线L由方程y=yx给出设其中中在就在上有一阶连续导数,在上连续,则有L:y=yx,a JxKb,y b]fx,y L2£/^yds=£f[x,yx]yll+y\xdx对坐标的曲线积分定义181页Px,ydx+j Qx,ydy=j尸羽ydx+乂ydy第二类曲线积分组合曲线积分注意对坐标的曲线积分必须规定积分弧段的指向为表明积分的起止点,有时记为•再,为।Px,ycbc+Qx,ydy孙,乃曲线L也可以是封闭曲线,即起点与重点重合沿闭路的曲线积分力Px,ydx+Qx,ydy对坐标的曲线积分常分成向量的形式,设于是F=Px,y i+Qx,y j,ds=dxi+dyj£Px,ydx+Q羽ydy=^Fds对坐标曲线积分的性质1£kPx,ydx-女1Px,ydx£kQ^x,ydy=Qx,ydy改变积分路径的方向,积分值要改变符号,即2[n Px,ydx+Qx,y办=一1Px,ydx+Qx,ydy或JAB JBA』..Px,ydx+羽ydy=-J Px,ydx+Qx,ydy。