典型圆锥曲线题型总结

典型圆锥曲线题型与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值（极值）问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让同学们对这方面的知识有一个比较系统的了解，本文系统阐述一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”.

一、重、难、疑点分析重点圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值（极值）问题、与圆锥曲线有关的证

1.明问题.难点双圆锥曲线的相交问题.（应当提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判别式，还

2.要结合图形分析.）疑点与圆锥曲线有关的证明问题解决办法因为这类问题涉及到线段相等、角相等、

3..（直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予以示范.）

二、题型展示圆锥曲线的弦长求法

1.设圆锥曲线与直线相交于、为）两点，则弦长|C f（x,y）=01y=kx+b A（X[,y）Bl/，为AB或网=±|以（j+・-%1=卜±,J y]+y2）-4yM・若弦过圆锥曲线的焦点则可用焦半径求弦长，二

（2）AB F,|AB||AF|+|BF|.1o例过抛物线=的焦点作倾斜角为的直线/与抛物线交于、两点，旦1A B求倾斜角a.IAB|=8,分析一由弦长公式易解.解答为••抛物线方程为焦点为・x2=-4y,J（0,-1）.设直线的方程为即1y-（-D=k（x-0）,y=kx-l.将此式代入中得-x2=-4y x2+4kx-4=

0./.xl+x2-4,xl+x2=-4k.由|二得8=J1+Y.J（—奴）4）k=±lAB|82—4x1x（—Ajr37r又有tana=±1得=一或a=——.44分析二:利用焦半径关系.•••区耳--必忸耳=+9，2+~+丫玉由上述解法易求得，|AB|=-（％2）+p=-[（kxpl）+（kx2-l）]+p=-k（+x2）+2+p.结果，可由同学们自己试试完成.2与圆锥曲线有关的最值（极值）的问题.在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标的取值范围.（X,y）例已知％求22的最大值与最小值；的最大值与最小值.22+4（y-1）2=4,⑴x+y

（2）x+y解一将丫-代入得/+4

（1）2=4/+y2=4-4（yT）2+y2=-3y2+8y=-3（y-1）a+y.由点满足丫-知2即|（x,y）/+4

（1）2=44（y-l）^4yT|Wl.JOWyW

2.,当时，）（x+/==[.33当时，y=0（x2+y2）min=

0.解二分析显然采用⑴中方法行不通.如果令则将此代入/中得关于u=x+y,+4（y-1）2%y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值.令则有代入得22x+y=u,x=u-y,/+4（y-l）2=45y-（2u+8）y+w=

0.又（由可知）a2・・・0WyW2,

（1）・•・[—（2u+8）]2—4X5X

20.**.1-y/~5〃1+当〃=1+后时，^=1+—e[0,2]；当”=1—百时，y=l+—e[0,2]，（x+y）max=l+6心+V）min=1-K与圆锥曲线有关的证明问题

3.它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法.例.在抛物线上有两点「和且满足|求证3x2=4y A（x yl）B（x2,y2）AB|=y1+y2+2,和这抛物线的焦点三点共线；匚+—匚为定值.（DA.B

（2）1\AF\\BF证明;抛物线的焦点为准线方程为尸-

（1）F（0,1）,L、到准线的距离分别丫如图所示）.・•・A Bdl=yl+l,d2=2+1（2—46由抛物线的定义|AF|=dl=+l,|BF|=d2=y+l.yi2即、、三点共线.J|AF|+|BF|=yl+y2+2=|AB|A BF如图设22—46,NAFK=®.2UM=V|AF|=|AAl|=|AK|+2=|AF|sin0+2A111-sin又二二BF=|BF||BBl|2-|BF|sin9Z.1+sin・.|AF||BF|L小结:与圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质.

4.圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△》来处理,但用△》来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的.解决这类问题方法由与直观图形相结合；方法由“△》”1,2,与根与系数关系相结合；方法转换参数法以后再讲.3,°一例已知曲线G/+=1及y=1+1有公共点,求实数的取值范围.4a2x2+y-a2-2=0,{可得2=2y2l-a y+6f-4=

0.x，二y一].22a-,A=4l-a-4a-4^0,2如图可知2—47,图椭圆中心），半轴长=收，抛物线顶点为（,所以当圆锥曲线在下方相切或相交（0,1）,时，a21—血.综上所述，当时，曲线与g相交.1—G

5.利用共线向量解决圆锥曲线中的参数范围问题22例已知椭圆二十==1（人0）的长、短轴端点分别为、从此椭圆上一点a Zr

5.A B,M向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点大，向量获与而是共线向量求椭圆的离x

（1）心率设是椭圆上任意一点，片、尸分别是左、右焦点，求/KQE的取值范围；e；

（2）Q2b2b2解（F[（―c,0）,则=—G y——,k-1），oM OMa ac27I•的而与赢是共线向量，••—二一一，故二正・・8=—・，b=C,6aaca2设内=不用0|=3/£6=+弓=2々,忻用=2c,

（2）八r2+r2-4c2r+r,2-2rr,-4c2a1a2tcos=J——Z=———---------------------------=--------1---------——1=02JT当且仅当八时，==G cos0,/.9e[0,—]o由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题求解此类问题的关键是正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.

6.利用向量的数量积解决圆锥曲线中的参数范围问题22例.椭圆二+”=1的焦点为点为其上的动点，当为钝角时，6F],F2，P NF/F294点横坐标的取值范围是P解由椭圆二+乙=1的知焦点为一百，V5943

（0）F（,0）.2设椭圆上的点可设为）./月尸产为钝角P（3cos22sin・・・2••历秋=（—右一3cos9,—2sin9）•（逐一3cos-2sin9）・・、3亚375••点横坐标的取值范围是・P5522cos20=9cos^—5+4sin^=5—l0解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数解得:量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了.。