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数字信号处理知识要点
一、离散时间信号和系统的时域分析一离散时间信号1基本概念信号信号传递信息的函数也是独立变量的函数,这个变量可以是时间、空间位置等连续信号在某个时间区间,除有限间断点外所有瞬时均有确定值模拟信号是连续信号的特例时间和幅度均连续离散信号时间上不连续,幅度连续常见离散信号一一序列数字信号幅度量化,时间和幅度均不连续2基本序列课本第7——10页f1〃=01,/701单位脉冲序列3〃=2单位阶跃序列[0,n010〃N—1naun3矩形序列〃=—324实指数序列,[0,n^nNxn=5正弦序列x〃=4sing〃+66复指数序列3周期序列1定义对于序列若存在正整数N使x〃=x〃+N,-oo〃oo则称》〃为周期序列,记为巩〃,N为其周期注意正弦周期序列周期性的判定课本第页102周期序列的表示方法a.主值区间表示法b.模N表示法3周期延拓设x〃为N点非周期序列,以周期序列L对作x〃无限次移位相加,即可得到周期序列乳〃,即00xn―江x{n}=Z/=—00当£2N时,xn=xnR n当£N时,xn丰xnR〃N N4序列的分解序列共枢对称分解定理对于任意给定的整数M,任何序列了“都可以分解成关于=//2共辄对称的序列乙⑺和共辗反对称的序列/〃之和,即时域序列离散傅里叶级数变换(DFST)3⑺1R⑺N况左)N当〃eN3⑺〃cos22〃/NR NN[3k-m+^k-N+m]/2sin2^mn/NR/-jN[5k-m-3k-N+加]/2N
4.频域采样定理设序列武〃)的傅里叶变换为X(e〃),在区间[0,2万)内对X
(0)进行N点等间隔采样(采样间隔为2»/N)得到序列阳灯,且X(%)对应的IDFT为今⑺,则00Ev(〃)=Z x(n+rN)〃=70这是因为,在频域内对X(e,)等间隔采样,导致时域序列x(〃)周期延拓,并且在区间[0,2m采样得到的序列X(k)的IDFT是原序列以N为周期进行周期延拓后的主值序列若序列的长度为M,那么只有当频域采样点数NW时,才有了N(〃)=%(〃),此时才能由频域采样序列X(幻恢复X(e)
(三)连续信号傅里叶变换、序列傅里叶变(CFT)换、离散傅里叶级数变换、离散傅里(SFT)(DFST)叶变换的关系(DFT)抽样截短,周期延拓.(/)——~!(〃)—(昉(〃)x►►-►I,「二吃*A iTTCF1T SFTSFT DFST脯延拓卷积抽样Iv——(*)—¥(*)*%,)——!;(()►►►取主值各个变量对应关系:k:G〜N—\k数字角频率
①0〜212/rk/N数字频率F0〜1k/N模拟频率/0工kf/N〜s077“模拟角频率Q:0〜2万/——fs八NCD—Q],co=I=2jifTco-2〃k/N编者按为什么要有DFTs s我们从外界接收到的信号都是连续信号,但是在现代人类都用计算机对信号进行处理,而计算机只能识别离散的值,所以需要对接收到的连续信号进行采样截短得到离散的序列但是,一个域的离散必然导致另一个域的周期延拓,当对时域的连续信号进行采样时,其频谱必然进行周期延拓,所以序列的傅里叶变换是连续周期的,这样计算机就没法对其频谱进行分析这时,对时域信号进行周期延拓,又会使其频谱离散化经过两个域的分别离散化和周期延拓,这时得到的就是DFST的对应关系那么,分别对两个域取主值,就可得到适合计算机处理的时域和频域序列DFT就应运而生一家之言,仅供参考四卷积的计算L循环卷积与线性卷积有限长序列的卷积设有限长序列的长度为N,力〃的长度为M,它们线性卷积结果为m〃,长度为4=N+/-1;循环卷积结果为外〃,长度为则两类卷积有如下对1当L=N时0nM-2”〃=M——1〃=%〃3当N«£4时yM+y\n+L\工OSn L—L—%〃,lo
2.重叠保留法和重叠相加法无限长序列得卷积]重叠留3夫基本思路将两个序列中长度较长或无限长的序列均匀分段,计算各个有限长的子序列与另一短序列的线性卷积,最后将结果重叠相加起来输出重叠的是卷积结果设有限长序列hn的长度为M,xn为无限长序列,计算步骤1将x〃均匀分段,每段长度为N8武〃=£/〃kNnk+lN-lx/=x/i7〃-kN=k velse0,k=02计算每段子序列与短序列的线性卷积设x[n=Xkn-kN,即计算芯〃与〃〃的线性卷积义〃3将各子序列线性卷积的结果移位后相加得总输出GO令”〃=其〃一左N,贝IJ〃=£”.〃k=02重叠保留法基本思路将两个序列中长度较长或无限长的序列在时间上有重叠地分段,计算各个有限长的子序列与另一短序列的线性卷积,最后保留每段结果中间N个点,相加输出重叠的是较长的序列设有限长序列hn的长度为M,xn为无限长序列,计算步骤1将工5有重叠地分段每一段由kN向前重叠M-1个点,每段长度为N+M-1kN-M+lnk+lN-lelse2计算每段子序列与短序列的线性卷积设匕〃=xn+kN-M+1即计算x[H与hn的线性卷积乂〃,义〃k9的长度为N+2M-2,将前M-1个点去掉,后M-1个点去掉,保留中间N个点得以53将各子序列线性卷积的结果移位后相加得总输出00〃⑺即M=Zk=0说明重叠保留和相加法必须掌握,公式可以不必记忆,明白其算法思想,会计算即可而且计算时注意三步走写在卷子上,否则答案正确也没分与数学归纳法一样,有固定格式五用进行频谱分析的误差DFT
1.泄漏现象产生原因用DFT进行分析时,隐含对序列在时域加窗截断,使得信号的原有频率的能量向其他频率上泄漏减少方法1加大窗长,增加实际DFT计算的点数;2变换时域所加窗函数的形式
2.栅栏现象产生原因DFT只计算口=2万左/N,左=042・・・,N-l的频谱减少方法在序列末尾加零以增加DFT的点数
3.混叠现象产生原因序列截断以及采样频率不完全满足采样定理减少方法以较高的采样频率对信号进行采样,之后序列通过数字低通滤波器,降低采样频率后再进行DFT分析
4.DFT的分辨率参数选择的一般原则a.若已知信号的最高频率防止混叠,选定采样频率Z2/maxb.根据频率分辨率F,确定所需DFT的长度N=,/bc.和N确定以后,即可确定相应模拟信号的时间长度7=,/N=NT,这里T是采样周期六离散时间信号的抽取和内插
1.离散时间信号的整数倍抽取时域yn=xDn兀iD-\k频域Yej0=/丁D k=o整数倍抽取将导致数字频谱的展宽
2.离散时间信号的整数倍内插n萧\7,〃=0,士/,±2/,.・・时域vn=I0,else频域/〃=Xe9序列相邻采样点之间插零将导致数字频谱压缩说明即使抽取和内插的公式记不住,也要学会画图分析其过程各种域和各种变换的关系总结如图15所示一扑+〃,一X7=%X00M00并且xn=;[%+X*-叫e Z〃--[xn-x\M-n]4序列的运算1基本运算运导性质描述序列相乘yn=X]nxn yn=axn2序列相加y{n}=西〃+工2〃序列翻转yn=x-〃将XH以纵轴为对称轴翻转尺度变换yn=xmn序列x〃每隔m-1点取一点形成的序列用单位脉冲8序列表示x〃=E xi6n-i/=—002线性卷积:将序列以y轴为中心做翻转,然后做m点移位,最后与必〃对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和8定义式y〃二-X]m%〃-⑼=X|〃*.2〃=-co线性卷积的计算A、图解B、解析法C、不进位乘法必须掌握N-1”jcoNl2yj oN12_e-j DN/2\e-9N/2/N/2_e W2£9〃3单位复指数序列求和必须掌握〃=0HR-小/2/2/sinON/2sin69/2一MN.1/2如果
①=2兀k/N,那么根据洛比达法则有=N30左=0或N3N左=Nsin®N/2sina/2可以结合作业题进行练习
3.225序列的功率和能量8能量£=Z|x〃『二—□01N功率P=limy IxnI252N+I£J6相关函数一一与随机信号的定义运算相同二离散时间系统
1.系统性质1线性性质定义设系统的输入分别为再“和4〃,输出分别为%〃和为〃,即%5=T[%G],yn=T[xn]22统的输对于任意给定的常数、b,下式成立yn=T[ax n+如〃]二〃乂〃+2〃1则该系统服从线性叠加原理,为线性系统,否则为非线性系统判定系统的线性性质时,直接用定义2时不变性质统的如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化,则称该系统是时不变系统即对任意给定的整数i,若下式成立yn-i=7[x/-z]则称该系统为时不变系统,否则为时变系统判定系统的时不变性质时,直接用定义3系统的因果性定义如果系统n时刻的输出序列只取决于n时刻及以前的输入序列,而与n时刻以后的输入序列无关,则称该系统具有因果性质,即系统是因果系统,否则是非因果系统离散时间LTI系统具有因果性的充要条件是系统的单位脉冲响应力〃满足〃〃=0204系统的稳定性定义对任意有界的输入,系统的输出都有界,则该系统是稳定的,否则是不稳定的离散时间LTI系统具有因果性的充要条件是系统的单位脉冲响应〃“满足绝对可和,即腐El18/=—005对离散时间LTI系统的描述1时域差分方程22Z域系统函数”z
2.信号过系统yn=hn^xn用线性卷积的相关知识计算,信号系统学的基本性质可以套用
二、离散时间信号和系统的频域分析一离散时间信号
1.序列傅里叶变换Sequence FourierTransform即本书中的离散时间信号的傅里叶变换1定义00j0SFT Xe=SFT[xn]=£—oogoo/7=-00冗I cJ0ISFT xn=ISFT[Xe]=—[X©W〃dco,—g说明
1、物理意义序列傅里叶变换本质上是序列的一种分解,它将一般序列分解为无穷多个数字角频率[-匹加中的复指数序列称X〃0为序列》〃的频谱,其模|Xi I称为幅频特性,其幅角arg[X/]=⑷称为相频特性
2、尽管序列%是离散时间信号,但它的序列傅里叶变换对数字角频率
①而言却是连续函数,因此,序列尤〃的傅里叶变换是连续的
003、X/M2力二Z工〃/叱乃〃=xd2Z7=-0C由上式可知,序列傅里叶变换是以为周期的周期函数,其原因正是由于/3n对而言以21为周期,即数字角频率相差2兀的所有单位复指数序列等价因此,对的所有单位复指数序列只有一个周期对于离散时间信号,由于的周期性,使得
①=0或2万的整数倍都表示信号的直流分量,而〃的奇数倍表示信号的最高频率
(2)性质名称性质描述线性性质〃+bx〃]=^SFT[xn]+b^SFT[x{n}\2]2时移性质SFT[xn-m]=^SFT[xn]频移性质j f70SFT[e^^xn]=Xe^共粗对称性质SFT[x n]=Xen,SFT[jxn]=X0SN〃]=R efRe[X*],SX〃]=〃m[X/]线性卷积性质SFT[xn^yn]=SFT[xn]-SFT[yn]帕斯瓦尔定理100降丁匚|X0|2dG相乘性质SFT[xnyn]二-L「Xe*YSfde2TI-序列乘以n SFT[n^xn]=j[dXejC0/dco]
(3)基本序列的傅里叶变换序列傅里叶变换15〃12法⑼⑻e-刎Nf/2sm等/si畔nau{n|a1/啊(21/%为有理数)2乃5(口一g)cos
①0几(2兀//为有理数)7r[569-g+b69+g]$由例〃(2»/例为有理数)一兀]))j69—69Q—3CO+CD1_9尸+法⑷
2.Z变换(不熟悉的复习信号系统相关内容,或本书
2.3相关内容)()1定义co ZTXz=ZT[xn]=£x〃z一〃R_|z|尺+x〃二-conlIZT xn=IZT[Xz]=-dXzz-dzR|z|Rx x+2R晨2性质——课本49页表3收敛域与基本序列Z变换——课本45页表、表
3.离散时间信号Z变换与SFT的关系Z变换是由SFT推广得到的,反过来,如果某序列的Z变换的收敛域包括z=*,则也可以通过ZT求得序列的SFT即8XQ1”=板=X0n=-oo上式表明,SFT正是序列的ZT在z=/的值二离散时间系统
1.系统函数的收敛域与系统因果性和稳定性当且仅当系统函数H⑵的收敛域为小于单位圆的某个圆的园外时,系统是因果稳定的
2.系统函数的零极点分布与系统因果性和稳定性若系统是因果稳定的,则Hz的极点必定在单位圆内
3.系统函数的零极点分布对系统频率响应特性的影响
1、对极点而言当单位圆上的点转到某个极点附近时,|4|在这附近出现峰值极点越靠近单位圆,振幅特性的峰值越大,当极点出现在单位圆上时,振幅特性将出现无穷大,系统不稳定
2、对零点而言当单位圆上的点转到某个零点附近时,|〃〃|在这附近出现谷点当零点出现在单位圆上时,振幅特性为零零点可以位于单位圆外,不影响稳定性两个概念一一
1、最小相位系统系统Hz的全部零极点都在单位圆内,某点在单位圆上逆时针旋转一周时,系统的相位变化最小
2、最大相位系统Hz的全部零点在单位圆外,系统的相位变化最大说明处于坐标原点的零极点不影响系统的幅频响应;利用零极点分析系统的幅频响应,仅对低阶系统有效三离散时间信号与模拟连续时间信号
1.时域关系设连续时间信号/⑺,离散时间信号》〃,则xn=xnT=xt\a at=nT
2.频域关系18X儿山=下Z xgg—在时域对信号抽样,其频域的特征就是频谱以采样频率,为周期进行周期延拓•J一个域的离散必然导致另一个域的周期延拓一个域的周期延拓必然导致另一个域的离散对应变量的关系0-单位rad-单位Hzco=C1T由于所以%ax=Q7=2〃
三、离散傅里叶变换DFT一离散傅里叶级数变换DFST说明周期序列不满足绝对可和的条件,不适用于序列傅里叶变换的定义式,但是它可以展开成离散傅里叶级数Discrete FourierSeries,DFS,利用离散傅里叶级数可以得到周期序列的离散傅里叶变换表示式
1.定义N-\DFST/左=Z双〃町,一00〈人w=01N-1IDFST文〃=一Z/4/丁一〃N=注
1、周期单位复指数序列吟/豹巾二曲周期单位复指数序列对n、k而言都是以N为周期的,即,W+N k=W,_gn,k8W4k+N=w,股〃=附—储左gN00V
2、周期为N的周期序列式〃可以分解成N个周期复指数序列的和,这些周期复指数序列的数字角频率为空(左=0,1,2,…,N-1)周,它们的幅度和相位由离散傅N里叶级数坐决定N
2.基本周期序列的离散傅里叶级数变换时域序列离散傅里叶级数变换(DFST)15九1N$k当〃eNCOS2TT〃2〃/N N[dk-m+5k+my]!2sin2^mn/N-jN[5k-m-3k+m]/
23.周期序列的离散傅里叶变换087rK二—O0可类比信号系统中周期信号的傅里叶变换,具体推导过程见课本76页
(二)离散傅里叶变换(DFT)
1.定义N—1DFT X(左)二£](〃)町,0(左(N—1〃=01N-1IDFT X〃二一ZX左町冠,0«〃VN—lN〃=要点:
(1)DFT没有实际的物理含义,但是可以理解为SFT的等间隔采样,即X(左)=X(/”)|兀0义工12=——kN
(2)变换区间[0,N-l],有限长N点
(3)变换结果与序列长度N有关,当N足够大时,|X(左)|的包络趋近于«(*)曲线
(4)频谱分析的意义:|X左|表示你=2i/N左频点的幅度谱线,如果x〃是模拟信号的采样,采样间隔为T,=7=2//7,则k与相应的模拟频率的关系为例=--k=27rfTk即人=―仁对模拟频率域而言,N点DFT意味着频域采样间隔为,生所k NTNT以用DFT进行谱分析时,称b=,为频率分辨率而NT表示时域采样的区间NT长度即观察时间或记录长度=NT,显然为了提高分辨率就必须是记录长度足够大5DFT的隐含周期性1DFT是SFT的等间隔采样,而X以2»为周期;2/=吸+叫的周期性3时域抽样,频域周期延拓;频域采样,时域周期延拓
2.DFT的主要性质性质时域%办yn频域Xk、Yk线性性质ax/+bxn*左+b*2左x2时域循环移位性质kmW-Xk频域循环移位性质匕晨⑺X左+/NN/时域循环卷积Xjn0X/7X”2k2频域循环卷积X IHX2773旬电工㈤复共辗序列的DFT x〃*X*N-k共甄对称性”〃XR⑹%〃jx,⑻Xepkjx/n X3k帕斯瓦尔定理1N-l N-l£卬〃『=元£|阳左|2Nk=o〃=o
3.基本序列的离散傅里叶变换。