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问题重述1某研究所为了研究氮肥＜N＞、磷肥＜P＞、钾肥＜K＞三种肥料对于土豆和生菜的作用,分别对土豆和生菜两种作物做了三组实验，实验中将每种肥料的施肥量分为10个水平，在考察其中一种肥料的施肥量对土豆或者生菜的产量的影响时,其他两种肥料的施肥量均在第七个水平上，实验数据如下面表格所示，其中ha表示公顷，俵示吨,kg表示千克，试建立反映施肥量与产量关系的模型,并从应用价值和如何改进等方面作出评价.施肥量与产量关系的实验数据土豆:施肥量产量生施肥量产量施肥量产量菜kg/ha t/hakg/ha Vha kg/ha t/ha-
015.18—氮肥0磷肥
033.
4618.
983421.
362432.
474727.3567””钾肥
4936.
069334.
867337.
9614038.52着㈣气曲
39841.
0418638.44出好3心
314740.
0927937.73晚,24%
94.
19641.
2637238.43V8611:
4624542.
1746543.87W普§
329440.
3655842.
7734242.
7365146.22氮肥磷肥钾肥b
15.836经计算得正规方程组的解为B b
0.000007i b
0.11（XTX）IXTY2则原假设模型为y=-
0.000007x2+
0.01lx
15.836生k k用R2检验模型的拟合度，将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得钾肥施肥量与生菜产量拟合图形如下计算得R
20.830模型的拟合度良好，可以较好的反映钾肥施肥量与生菜产量之间的关系.氮、磷、钾肥施肥量共同改变时对生菜产量的影响
4.8由
4.5,
4.6,4得7氮肥、磷肥、钾肥三种肥料对生菜的产量的影响模型组如下根据上述模型组，我们可以建立生菜产量与氮肥（x、磷肥、钾肥（x（y np k之间的模型
4.
8154250.
0002320.098706经计算得正规方程组的解为B
0.
0000380.
0487480.
0000300.027461则可以解出模型为用R2检验模型拟合度,计算得R
0.866接近于1,拟合度较高,可以较好的反映氮、磷、2钾三种肥料同时施肥时对生菜产量的影响.经计算得出上述模型的最大产量时的氮磷钾的施肥量如下表（代码见附录表氮磷钾肥施肥量对应生菜产量表2氮肥施肥量磷肥施肥量钾肥施肥量生菜产量kg/ha kg/ha fkg/ha t/ha
212.
8283641.
4227457.
685523.5586由表2氮磷钾肥施肥量对应生菜产量表可知当氮肥施肥量为213kg/ha，磷肥施肥量641kg/ha，钾肥施肥量458kg/ha时生菜的产量最大值为
23.56t/ha为了方便施肥，对小数点数据后进行四舍五入.模型的评价与改进5我们种植农作物时，不能单一的只考虑高产量，同时还需考虑作物的售价和肥料价格，以达到收益的最大化.目前各种作物价格以及肥料价格如下表表作物及肥料价目表3种类价格元/kg土豆
3.6生菜
6.0氮肥
1.6磷肥
0.7钾肥
3.5用w、w分别表示土豆、生菜的利润,p、p分别表示土豆、生菜的价格,z、I2t snZ、Z分别表示氮、磷、钾三种肥料的单价.P k土豆最佳施肥
5.1根据上述价格及方程则可以建立土豆的利润模型为带入单价得上述模型为0ATLAB代码见附录经计算得表土豆最佳施肥计算结果表4氮肥的施肥量磷肥的施肥量钾肥的施肥量利润元届kg/ha kg/ha kg/ha
292.
9003255.
4611651.0000163430由表4土豆最佳施肥计算结果表可知道当土豆的施肥量为氮肥293kg/ha,磷肥255kg/ha,钾肥651kg/ha,可获得最大利润163430元/ha.生菜最佳施肥
5.2根据上述价格及方程则可以建立生菜的利润模型为经计算得MATLAB代码见附录附录土豆计算最大产量的MATLAB代码M文件function f=fun3x f=_-.313*x1*x1+.1838*x1-.147*x2*xQ+
0.0753*x2+
6.0667*logx3»-
29.7174;主程序A=[100;010;001J;b=[471;342;651J;Aeq=[];beq=[];VLB=[O;O;O];VUB=[];xO=[O;O;O];[x,fval]=fmincon,fun3,,xO,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB结果X二
293.
6104256.
1250651.0000fval=-
46.2116x
293.6104即xn
256.1250x651y
46.2116k生菜计算最大产量的MATLAB代码M文件function f=fun3xf=--
8.858450+
0.098706*x1+
0.048748*x2+
0.027461*x3-
0.000232*x1*X1-
0.000038*x2*x2-
0.000030*x3*x3»主程序A=[100;010;001];b=[392;685;651];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0;400];VUB=[];xO=[O;O;O];[x,fvall=fmincon,fun3,,xO,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB结果X二
212.
7283641.
4227457.6855fval二-
23.5586土豆最佳施肥计算代码M文件function f=fun3xf=-3600*-
0.000313*xl*xl+
0.1838*xl-
0.000147*x2*x2+
0.0753*x2+
6.0667*logx3»-
29.7174-
1.6*xl-
0.7*x2-
3.5*x3»;主程序xO=[l;l;l];A=[100;010;001];b=[471;342;65Il;Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0;0];VUB=[];x0=[0;0;0];[x,fval]=fminconfun3^x,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB结果
292.
9003255.
4611651.0000fval=-
1.6343e+
0529421.94施肥量产量施肥量产量
39122.64kg/ha t/ha kg/ha^t/ha
48921.
34011.
02015.
7558722.
072812.
704716.
7668524.
535614.
569316.
898416.
2714016.
2411217.
7518617.56模型假设:
216822.
5927919.
2022421.
6337217.
9728019.
3446515.
841、忽略土壤现有肥力对农
33616.
1255820.11392作物生长的影响.
14.
1165119.
402、
3、假设施肥时肥料的质量准确.假设在所有作物的生长环境的阳光，空气、水、温度变化都相同.问题分析:我们研究的是不同肥料的施肥量对农作物产量的影响,就是要求出施肥量与作物产量之间的关系，目前我们仅有单一施肥量与作物产量的数据,我们需要用线性回归的方法拟合出每一种肥料对作物产量影响的方程，然后根据第七个水平的共同施肥量建立多种肥料对一种作物产量影响的方程，从而找到最佳施肥量使得作物的产量最大.模型的建立和求解4氮肥施肥量改变时对土豆产量的影响
4.1由现有数据建立氮肥施肥量对土豆产量的影响散点图如下:图氮肥施肥量与土豆产量关系散点图1由图1氮肥施肥量与土豆产量关系散点图我们发现氮肥的施肥量与土豆产量大致成二次关系，故我们建立如下模型现将上述模型线性化，算出令值为则上述模型可以简化为X2X N N2在计算多元线性回归方程时，假设回归方程为y b bx bx b xN0,
4.12J01122p p其中b,b,b夕都是x,x,,x无关的未知参数.290I p12p设（x,x、,x,y）,,k,x,,x,y）4,2I1121p Inl n2np n是一个样本,和一元线性回归的情况一样，我们用最大似然估计法来估计参数.即取b,b,,b使当bb,bb x
24.3ilP ip…达到最小.求Q分别关于b,b,01,b的偏导数，并令它们等于零，得pQ bb xb x2ny0,01il pipQ bi I2nybo b看b x x0,P ip ijil12,p4,4化简
8.4式得b xX Xil il2i2ipil il iln1n X2n bxn x°Vr
9.5X il ilb xxP”Pil ilil2ili2il iln n nbxxbX2X X X ipxyip i il il2ipi2P ip甲il il1il我们将式G.5称为正规方程组.为了求解的方便,将式机5写成矩阵形式.为此，引入矩阵:I X X y b1112i o1X Xyb92122，B12lx xX:yb•nl h2np-n Pn nnX X1111X XXil ilIp1112n nnx1X X X XXXX22P ilil…ripXTXnl2122ilililX1XX,np•*・n•n•**4n--XXXX2ip ipili ipil1il因于是日.5式可写成X XII21XTXB XTY
8.5这就是正规方程组的矩阵形式.在
4.5,式两边左乘的逆矩阵】〔设XTX XTXX存在得到
4.5的解.TX1b0bB，1XTXIXTYbp这就是我们需要求的b,b,bT的最大似然估计.我们取01p作为b X的估计.则可以得到p元线性回归方程方p P程:2XX,XpboXIbb o经
14.74164计算得正规方程组的解为B bib
20.00034XTXIXTY
0.19715则求的原假设模型为y
0.00034x2NN用R2来检验模型的拟合度，将所得模型与现
0.19715x
14.74164有数据的散点绘制在同一张图上得氮肥施肥量与土豆产量拟合图形如下计算得R
20.986拟合度良好，可以较好的反映氮肥施肥量与土豆产量的关系.磷肥施肥量改变时对土豆产量的影响
4.2由现有数据画出磷肥施肥量与土豆产量关系的散点图图磷肥施肥量与土豆产量关系散点图2由图2磷肥施肥量与土豆产量关系散点图可以看出磷肥施肥量与土豆产量大致成二次关系，故可建立磷肥施肥量与土豆产量关系的模型如下为简化计算,计算出X2令之为X，则上述假设模型可化为P P2b
032.916经计算得正规方程组的解为B bbXTXIXTY
20.000138则假设模型可解得y
0.000138x
20.071859x
0.071859p PP用R2来检验模型的拟合度，将所得模型与现有数据的散点绘
32.916制在同一张图上得磷肥施肥量与土豆产量拟合图形如下经计算得R
20.864,模型拟合程度良好,可以较好的反映磷肥施肥量与土豆产量之间的关系.钾肥施肥量改变时对土豆产量的影响
4.3由现有钾肥施肥量与土豆产量的数据画出如下钾肥施肥量与土豆产量关系散点图图3钾肥施肥量与土豆产量关系散点图由图3钾肥施肥量与土豆产量关系散点图可以初步看出钾肥的施肥量与土豆的产量大致成对数关系，我们因此假设土豆的产量与钾肥的施肥量模型如下为简化计算令X Inx先将全部的Inx计算出来用x来代换，则假设模型Ink k k Ink可化为求一元线性回归的解法如下1模型假设2参数估计y abx,N0,2i iii故方程有惟一解3得到回归方程为^经计算得b
5.811则假设模型为y.n58x7021a
7.021k ink因此可以得出原假设模型为用R2检验模型拟合度，将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得钾肥施肥量与土豆产量拟合图形如下经计算得模型R
0.865,因此模型拟合度良好，可以较好的反映钾肥施肥量2与土豆产量之间的关系.氮、磷、钾肥施肥量共同改变时对土豆产量的影响
4.4氮肥、磷肥、钾肥三种肥料对土豆的产量的影响模型组如下由以上模型组可以假设土豆产量y与氮肥、磷肥、钾肥三种肥料的施肥量的关系模型如下将30组数据汇总在一起，在没有其他肥料的施肥量数据的地方填上对应的肥料的第七水平的施肥量，分别计算出、、Inx,然后做多元线性回归分析，经X2X2N pk计算得因此解出假设模型为计算R2来检验模型拟合度，得R
0.953,接近1拟合度很好，可以很好的反映氮肥、磷2肥、钾肥的施肥量对土豆产量的影响.计算出最大产量时的氮磷肥三种肥料的施肥量如下表0ATLAB代码见附录表氮磷钾肥施肥量对应土豆产量表1氮肥施肥量磷肥施肥量钾肥施肥量土豆产量kg/ha kg/hakg/ha tha
293.
6104256.
125065146.2116由表1氮磷钾肥施肥量对应土豆产量表得当氮肥施肥量为
293.6104kg/ha,磷肥施肥量
256.1250kg/ha,钾肥施肥量651kg/ha时土豆的产量最大值为
46.2116t/ha.氮肥施肥量改变时对生菜产量的影响
4.5由现有氮肥施肥量的改变对生菜产量的影响数据，建立氮肥施肥量与生菜产量关系的散点图如下:图氮肥施肥量与生菜产量关系散点图4由图4氮肥施肥量与生菜产量关系散点图可以看出生菜的产量与氮肥的施肥量大致成二次关系，故假设生菜的产量与氮肥施肥量之间的模型为为了简化计算先计算出X2用X代换，则原模型可化为nn2经计算得正规方程组的解为则原假设模型解得y=-
0.000238x
20.10132x
10.229生nn对模型进行R2检验,将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得氮肥施肥量与生菜产量拟合图形如下经计算得R
0.925拟合度较好,可以较好的反映氮肥施肥量与生菜产量之间2的关系.磷肥施肥量改变时对生菜产量的影响
4.6为了初步分析生菜产量在仅有磷肥改变时所受的影响,在现有数据的基础上建立磷肥施肥量与生菜产量关系的散点图如下图磷肥施肥量与生菜产量关系散点图5由图5磷肥施肥量与生菜产量关系散点图初步可以看出磷肥的施肥量与生菜产量之间大致呈现二次关系，故建立如下模型计算出X2用x代换则原假设模型可以化为如下多元线性回归方程Pp2y=b+bxbx生01p22Pb
6.875660经计算得正规方程组的解为B b
0.000055XTXIXTYb
0.0605972则模型为y=
0.000055x
20.060597x
6.87566生p p用R2检验模型拟合度，将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得磷肥施肥量与生菜产量拟合图形如下经计算的R
20.959,模型拟合度较好，故可以较好的反映磷肥的施肥量与生菜产量之间的关系.钾肥施肥量改变时对生菜产量的影响
4.7由已知钾肥施肥量与生菜产量关系数据，画出钾肥施肥量与生菜产量关系散点图如下图钾肥施肥量与生菜产量关系散点图6由图6钾肥施肥量与生菜产量关系散点图可以看出第八组数据与其他数据存在较大差异，为了保证数据的准确性，对本次实验数据进行残差检验，残差分析图如下图钾肥施肥量对生菜产量影响的残差分析图7从残差图可以看出数据的残差离零点的远近，除了第八组数据的95%残差置信区间不包含零点，其他组数据的残差95%置信区间均包含零点，则第八组数据可视为异常点剔除.在剔除异常点后画出钾肥施肥量与生菜产量关系的修正散点图如下图钾肥施肥量与生菜产量关系修止散点图8由图8钾肥施肥量与生菜产量关系修止散点图可以看出钾肥的施肥量与生菜的产量之间大致呈现二次关系，故建立模型如下同理将X2计算出来，用x代换，进行多元线性回归分析.kk2。
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