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《概率论第3讲》ppt课件$number{01}目录•概率论的基本概念•随机变量及其分布•多维随机变量及其分布•随机变量的函数及其性质•大数定律与中心极限定理01概率论的基本概念概率的定义与性质概率的定义概率是衡量某一事件发生的可能性的数学量,通常表示为PE,其中E表示事件1概率的性质2概率具有非负性、规范性、有限可加性和完全可加性3概率的取值范围概率的取值范围是[0,1],其中0表示事件不可能发生,1表示事件一定发生条件概率与独立性条件概率的定义条件概率表示在某一事件B已经发生的情况下,另一事件A发生的概率,记为PA|B条件概率的性质条件概率满足非负性、规范性、乘法法则和全概率公式事件的独立性如果两个事件A和B满足PA∩B=PAPB,则称事件A和B是独立的贝叶斯定理贝叶斯定理的表述贝叶斯定理的应用贝叶斯定理的推导贝叶斯定理是条件概率的一个重贝叶斯定理在统计学、机器学习、贝叶斯定理可以通过全概率公式要公式,用于计算在已知某些证人工智能等领域有广泛的应用,和条件概率的性质进行推导,证据的情况下,某一事件发生的概例如在分类问题、推荐系统中用明过程涉及到概率论的基本概念率于更新对某一类别的信任度和公式02随机变量及其分布离散随机变量离散随机变量定义离散随机变量的概率分布离散随机变量是在可数范围内取值的随机变量,离散随机变量的概率分布描述了随机变量取各其取值可以是整数或有限个离散值个可能值的概率,通常用概率质量函数表示常见的离散随机变量常见的离散随机变量包括二项分布、泊松分布等连续随机变量连续随机变量定义连续随机变量是在一个区间内取值的随机变量,其取值可以是任何实数值连续随机变量的概率分布连续随机变量的概率分布描述了随机变量在各个区间取值的概率,通常用概率密度函数表示常见的连续随机变量常见的连续随机变量包括正态分布、均匀分布、指数分布等随机变量的期望与方差期望的定义与计算期望是随机变量取值的加权平均,计算公式为1EX=∑xpx方差的定义与计算方差是随机变量取值偏离其期望的程度,计算公2式为DX=E[X−EX^2]=∑x[px−EX]^2期望与方差的基本性质期望具有线性性质,即EaX+b=aEX+b;方3差具有非负性,即DX≥0随机变量的独立性独立性的定义如果两个随机变量的取值互不影响,则称这两个随机变量是独立的独立性的性质如果两个随机变量独立,则它们的和、差、积等复合随机变量的概率分布等于它们概率分布的乘积独立性的应用独立性在概率论和统计学中具有广泛的应用,如贝叶斯推断、参数估计等03多维随机变量及其分布二维随机变量的联合概率分布定义01联合概率分布描述了两个随机变量同时发生的概率表达式02联合概率分布的函数形式为PX=x,Y=y,其中X和Y是随机变量,x和y是具体的取值边缘概率分布03对于每个随机变量,其单独发生的概率分布称为边缘概率分布条件概率分布定义条件概率分布是指在某个随机变量取某个特定值时,另一个随机变量发生的概率表达式条件概率分布的函数形式为PX=x|Y=y,表示在Y=y的条件下,X=x的概率全概率公式全概率公式用于计算在多个事件发生的条件下,另一个事件发生的概率随机变量的独立性定义两个随机变量相互独立意味着一个随机变量的取值不影响01另一个随机变量的取值0203判断方法独立性的应用如果对于任意x和y,有PX=x,独立性在概率论和统计中有着广泛的Y=y=PX=xPY=y,则X和Y相互应用,如贝叶斯推断和马尔科夫链蒙独立特卡洛方法等04随机变量的函数及其性质随机变量的线性变换线性变换的性质线性变换保持了随机变量的期望和方差不变,即线性变换的定义EY=aEX+b,VarY=a^2VarX如果随机变量X经过线性变换Y=aX+b后,得到新的随机变量Y,其中a和b为常数,则线性变换的应用称Y为X的线性变换在统计学和概率论中,线性变换被广泛应用于数据的变换和模型的建立随机变量的函数期望与方差函数期望的定义01对于随机变量X的函数gX,其期望E[gX]定义为E[gX]=∫gxfxdx,其中fx是X的概率密度函数方差的定义02方差VarX定义为VarX=E[X-EX^2],即随机变量X与其期望值EX的差的平方的期望函数期望与方差的性质03函数期望具有线性性质,即E[aX+b]=aEX+b,VaraX+b=a^2VarX随机变量的独立性010203独立性的定义独立性的性质独立性的应用如果两个随机变量X和Y满足如果X和Y独立,则它们的函数也在概率论和统计学中,独立性被PX∩Y=PXPY,则称X和Y独独立,即如果gX和hY独立,广泛应用于概率计算、统计推断立则gX和hY也独立和决策理论等领域05大数定律与中心极限定理大数定律大数定律是指在随机实验中,当实验次数趋于无穷时,频率趋于概率的定理也就是说,当实验次数足够多时,某一事件的频率将逐渐稳定并接近其理论概率大数定律在概率论中占有重要地位,它揭示了随机现象的统计规律性,为我们提供了对随机事件进行预测和推断的方法中心极限定理中心极限定理是指无论随机变量的分布是什么,只要样本量足够大,样本均值的分布就趋近于正态分布也就是说,当样本量足够大时,样本均值的分布形态与正态分布类似中心极限定理是概率论中一个非常重要的定理,它在统计学、金融学、社会学等领域有着广泛的应用它为我们提供了对随机现象进行推断和预测的方法,特别是在无法得知随机变量的具体分布时切比雪夫不等式与弱大数定律切比雪夫不等式是指对于任意的概率分布,其概率分布函数在任意区间上的积分值都小于等于该区间长度与概率分布函数在区间端点的取值的乘积也就是说,对于任意的随机变量,其取值落在任意区间内的概率都不大于该区间长度与该随机变量取值落在区间端点的概率的乘积弱大数定律是指当实验次数趋于无穷时,一组随机变量的算术平均值与这组随机变量的众数趋近于相等的定理也就是说,当实验次数足够多时,一组随机变量的算术平均值将逐渐接近这组随机变量的众数THANKS。