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文本内容:
REPORTING2023WORK SUMMARY向量间的乘积•向量间的乘积的定义目录•向量间的乘积的性质•向量间的乘积的应用CATALOGUE•向量间的乘积的几何意义•向量间的乘积的运算规则PART01向量间的乘积的定义标量与向量的乘积标量与向量的乘积标量与向量相乘时,标量会乘以向量的每一个分量,结果仍为一个向量,其模为原向量模与标量的乘积总结词标量与向量的乘积是向量的模的缩放详细描述设标量为k,向量$overset{longrightarrow}{a}=a_1,a_2,...,a_n$,则标量与向量的乘积为$koverset{longrightarrow}{a}=ka_1,ka_2,...,ka_n$其模为$|koverset{longrightarrow}{a}|=|k||overset{longrightarrow}{a}|$向量与向量的乘积向量与向量的乘积总结词详细描述两个向量的点乘和叉乘点乘结果为点乘是标量,叉乘是向量设向量$overset{longrightarrow}{a}标量,叉乘结果仍为向量=a_1,a_2,...,a_n$和$overset{longrightarrow}{b}=b_1,b_2,...,b_n$,则它们的点乘为$overset{longrightarrow}{a}cdot overset{longrightarrow}{b}=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$,叉乘为$overset{longrightarrow}{a}times overset{longrightarrow}{b}$,其结果仍为一个向量特殊向量间的乘积点乘和叉乘点乘和叉乘的应用01点乘用于判断两向量的夹角,叉乘用于旋转向量总结词02点乘判断夹角,叉乘旋转向量详细描述03点乘的结果为正时,两向量夹角为锐角;结果为负时,夹角为钝角;结果为零时,夹角为直角叉乘的结果为一个旋转向量,可以用于旋转操作PART02向量间的乘积的性质向量间的乘积满足交换律和结合律交换律对于任意两个向量$vec{a}$和$vec{b}$,有$vec{a}cdot vec{b}=vec{b}cdot vec{a}$这意味着向量间的乘积满足交换律,即向量间的乘积不改变它们的相对顺序结合律对于任意三个向量$vec{a}$、$vec{b}$和$vec{c}$,有$vec{a}cdot vec{b}cdot vec{c}=vec{a}cdot vec{b}cdot vec{c}$这意味着向量间的乘积满足结合律,即向量间的乘积满足括号的变化规则向量间的乘积不满足分配律•分配律对于任意两个向量$\vec{a}$、一个标量$k$和一个向量$\vec{b}$,有$k\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}k\cdot\vec{b}$然而,向量间的乘积并不满足这一性质,即$k\vec{a}\cdot\vec{b}$并不等于$\vec{a}k\cdot\vec{b}$因此,向量间的乘积不满足分配律向量间的乘积与向量的模的关系•向量间的乘积与向量的模的关系设$\vec{a}$和$\vec{b}$为两个非零向量,则有$|\vec{a}\cdot\vec{b}|\leq|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|$这意味着向量间的乘积的模长小于或等于它们的模长的乘积,即向量间的乘积与向量的模之间存在一定的约束关系PART03向量间的乘积的应用在物理学中的应用力矩和角动量力矩力矩是力和力臂的乘积,可以用向量间的乘积来表示在物理学中,力矩用于描述旋转运动的改变,是旋转运动的动量矩的改变的量度角动量角动量是质量、速度和半径的乘积,也可以用向量间的乘积来表示在物理学中,角动量用于描述旋转运动的特性,是描述物体旋转状态的物理量在工程学中的应用电机控制和电子学电机控制在电机控制中,向量间的乘积被用于描述电机的旋转磁场和电流之间的关系通过控制电机的输入电流的相位和幅值,可以控制电机的旋转方向和速度电子学在电子学中,向量间的乘积被用于描述信号的幅度和相位信息通过调制信号的幅度和相位,可以实现信号的传输和接收在数学中的应用向量的外积和混合积向量的外积向量的外积是两个向量的叉积,结果是一个向量向量的外积在几何学中用于描述旋转和方向,在物理学中用于描述电磁场和洛伦兹力混合积混合积是三个向量的乘积,结果是一个标量混合积在几何学中用于描述平行六面体的体积,在物理学中用于描述三重积和场论中的拉普拉斯算子PART04向量间的乘积的几何意义点乘的几何意义角度和方向点乘表示两个向量的夹角,其值越大,两向量夹角越小01点乘的结果为正时,两向量方向相同;结果为负时,方向相反02点乘的结果为0时,两向量垂直03叉乘的几何意义旋转和右手定则叉乘产生一个垂直于原两向量右手定则右手四指弯曲指向叉乘的结果向量与原两向量垂的新向量,表示旋转的方向第一个向量的方向,大拇指所直,且与它们的起点无关指方向即为叉乘结果向量的方向向量外积的几何意义面积和方向01向量外积表示以原两向量为邻边的平行四边形的面积02外积的结果为正时,表示逆时针旋转;结果为负时,表示顺时针旋转03外积的结果向量与原两向量垂直,且与它们的起点无关PART05向量间的乘积的运算规则向量间的乘法的运算顺序先进行数量积运算,再进行向量积运算,最后进行混合积运算在进行向量间的乘法时,必须按照规定的运算顺序进行,不能随意改变运算顺序向量间的乘法的运算律结合律交换律向量间的乘法满足结合律,即对于任意向量间的乘法不满足交换律,即三个向量$mathbf{A}times mathbf{B}neq$mathbf{A},mathbf{B},mathbf{C}$,VS mathbf{B}times mathbf{A}$,除非两有$mathbf{A}times mathbf{B}times向量共线mathbf{C}=mathbf{A}timesmathbf{B}times mathbf{C}$向量间的乘法的运算性质向量间的乘法满足消去律,即如果两向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$满足$mathbf{A}times mathbf{B}=mathbf{0}$,则$mathbf{A}$和$mathbf{B}$共线向量间的乘法不满足结合律和交换律,因此不能像标量乘法那样简单地交换或结合向量的乘法。