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《多元函数的微积分》ppt课件•多元函数的基本概念•多元函数的导数与微分•多元函数的极值与最值•多元函数的积分目录•多元函数微积分的应用contents01多元函数的基本概念多元函数的定义多元函数的定义一个函数如果由多个变量决定,则称为多元函数例如,三维空间中的点x,y,z可以用一个二元函数z=fx,y表示多元函数的定义域函数中各个自变量可以取值的范围例如,对于函数z=fx,y,其定义域是x和y的所有可能取值的集合多元函数的值域函数中因变量可以取值的范围例如,对于函数z=fx,y,其值域是z的所有可能取值的集合多元函数的几何意义平面上的曲线对于二元函数z=fx,y,其图像在二维平面上表现为一条曲线例如,函数z=x^2+y^2表示一个圆三维空间中的曲面对于三元函数z=fx,y,z,其图像在三维空间中表现为一个曲面例如,函数z=x^2+y^2表示一个球面多元函数的极限与连续性多元函数的极限当自变量趋近于某个值时,函数值的趋近值例如,lim x,y→0,0x^2+y^2=0,表示当x,y趋近于0,0时,函数x^2+y^2的值趋近于0多元函数的连续性如果一个多元函数在定义域内的每一点都连续,则称该函数是连续的例如,函数z=fx,y在定义域内是连续的,当且仅当对于定义域内的任意点x,y,都有lim h,k→0,0[fx+h,y+k-fx,y]=002多元函数的导数与微分偏导数的概念与计算偏导数的定义对于一个多元函数,如果一个自变量的变化率与1其它自变量的变化率无关,那么这个变化率就是偏导数偏导数的计算方法通过求导法则和链式法则进行计算2偏导数与连续性的关系在某点处,如果偏导数存在且连续,则该点是可3微的全微分的概念与计算全微分的定义全微分的计算方法全微分的应用对于多元函数,如果所有偏导数在某全微分等于所有偏导数与各自自变量用于近似计算函数值,误差估计等点处都存在且连续,则该函数在该点增量乘积的和处可微,其微分称为全微分高阶偏导数与高阶全微分高阶偏导数的定义对于多元函数,如果一个偏导数关于某个自变量再次求导,则得到高阶偏导数高阶全微分的概念高阶全微分是指所有高阶偏导数与各自自变量增量的乘积的和高阶偏导数与高阶全微分的应用在研究多元函数的性质、解决某些微分方程以及优化问题中具有重要应用03多元函数的极值与最值多元函数的极值要点一要点二要点三定义二阶导数检验法鞍点的定义设$D$是平面或空间中的开区域,如果$fx_0,y_0=0$且$fx,y$在在多元函数中,一个点的各个方向上$fx,y$在$D$上连续,如果对$D$点$x_0,y_0$的某邻域内不变号,都是极值点的方向,则该点称为鞍点中的一切点$P_0x_0,y_0$,存在一则$x_0,y_0$不是极值点个邻域$UP_0$,使得当$Px,y$在$UP_0$中变动时,$fx,y$总大于或总小于$fx_0,y_0$,则称$fx_0,y_0$为函数$fx,y$在区域$D$上的极大值或极小值多元函数的最值定义01设函数在闭区域或连通开区域上连续,如果在该区域上存在一点,使得该点的函数值大于(或小于)区域上其他所有点的函数值,则称这个函数在该区域上取得最大值(或最小值)最值的存在性定理02连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值最值的求解方法03通过求一阶导数和二阶导数,判断函数的单调性和凹凸性,从而确定最值的位置条件极值与拉格朗日乘数法定义在约束条件下求多元函数的极值问题称为条件极值问题拉格朗日乘数法引入一个新变量(拉格朗日乘数),将条件极值问题转化为无约束条件的极值问题,然后利用无约束条件的极值求解方法求解应用在工程、经济、管理等实际问题中广泛应用,如最优控制、资源分配、生产计划等问题04多元函数的积分二重积分的概念与计算010203概念理解计算方法应用实例二重积分是定积分在二元函数上掌握二重积分的计算方法,包括通过实际应用问题,如平面薄片的扩展,表示二维平面上的面积直角坐标系和极坐标系下的计算的质量、面积等,理解二重积分公式的实际意义三重积分的概念与计算概念理解01三重积分是定积分在三维空间上的扩展,表示三维空间中的体积计算方法02掌握三重积分的计算方法,包括直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下的计算公式应用实例03通过实际应用问题,如物体的质量、体积等,理解三重积分的实际意义第一型曲线积分与第二型曲线积分计算方法掌握第一型曲线积分和第二型曲线积分的计算方法,包括参数方程和直角坐标系下的计算公式概念理解第一型曲线积分和第二应用实例型曲线积分是多元函数在曲线上的积分,分别通过实际应用问题,如表示线段的长度和线段曲线的长度、曲线上的上的质量分布质量分布等,理解第一型曲线积分和第二型曲线积分的实际意义05多元函数微积分的应用多元函数微积分在几何上的应用曲面面积计算利用多元函数微积分,可以计算出给定曲面的面积,这对于几何学和物理学中的许多问题都非常重要体积计算通过多元函数微积分,可以计算出由曲面围成的三维空间的体积,这在工程和科学领域中具有广泛的应用曲线积分在几何学中,曲线积分是计算曲线长度的一种方法,而多元函数微积分可以提供更精确和更高效的计算方法多元函数微积分在物理上的应用力学分析电场和磁场分析热传导问题在分析力学中,多元函数微积分在电磁学中,多元函数微积分被在热力学中,利用多元函数微积被广泛应用于解决质点和刚体的用于分析电场和磁场的变化规律,分可以解决复杂的热传导问题,运动问题,例如计算物体的速度、以及电荷和电流的分布情况例如求解温度分布和热量传递等加速度和力矩等多元函数微积分在经济上的应用供需关系分析在经济学中,多元函数微积分可以用于分析商品市场的供需关系,预测价格变动趋势,以及制定相应的经济政策最优化问题在资源分配和生产计划中,多元函数微积分可以用于求解最优化问题,例如最大化利润或最小化成本等风险评估在金融学中,多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报,以及制定风险管理策略THANKS感谢观看。