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《导数的概念说》课件ppt•导数的起源与定义•导数的几何意义•导数的计算方法•导数在实际问题中的应用目录•导数的扩展知识contents01导数的起源与定义导数的起源18世纪牛顿和莱布尼茨独立发展了微积分17世纪学,并应用于物理学和工程学中微积分学的基础概念,如极限和连续性被提出19世纪导数被更深入地研究,并扩展到其他数学领域导数的定义函数在某一点的导数导数可以用于研究函定义为该函数在这一数的单调性、极值、点附近的变化率曲线的切线等导数描述了函数值随自变量变化的速率导数符号的说明导数通常用符号fx表示,导数的符号f可以省略,直接导数的符号可以省略,写作其中f是函数,x是自变量,写作y或yx,其中y是f/x或fx,但需要在上下fx表示函数在点x的导数函数表达式文中明确表示导数的含义02导数的几何意义切线的斜率总结词导数在几何上表示切线的斜率,即函数图像上某一点处的切线与x轴正方向之间的夹角正切值详细描述在数学中,导数定义为函数在某一点处的切线斜率对于给定的函数,我们可以求其在某一点的导数,这个导数值即为该点处切线的斜率函数图像的凹凸性总结词导数可以判断函数图像的凹凸性,正导数表示函数图像向上凸,负导数表示函数图像向下凹详细描述根据导数的符号,我们可以判断函数图像的凹凸性如果函数在某一点的导数为正,那么该点附近的函数图像是向上凸起的;如果导数为负,则图像是向下凹的导数与函数图像的增减性总结词导数的符号决定了函数图像的单调性,正导数表示函数单调递增,负导数表示函数单调递减详细描述如果一个函数在某个区间内的导数大于0,那么这个函数在这个区间内是单调递增的;如果导数小于0,则函数在这个区间内是单调递减的因此,导数的符号可以用来判断函数图像的单调性03导数的计算方法基础导数公式幂函数的导数三角函数的导数对于正弦函数$fx=sin x$,其导数对于幂函数$fx=x^n$,其导数为为$fx=cos x$;对于余弦函数$fx$fx=nx^{n-1}$=cos x$,其导数为$fx=-sin x$指数函数的导数对于指数函数$fx=a^x$,其导数为$fx=a^x lna$导数的四则运算规则加法规则减法规则乘法规则除法规则对于两个函数的和,其对于两个函数的乘积,对于两个函数的商,其对于两个函数的差,其导数为$f+g=f+其导数为$fg=fg+导数为$frac{f}{g}=导数为$f-g=f-g$g$fg$frac{fg-fg}{g^2}$复合函数的导数计算010203链式法则隐函数求导对数求导对于复合函数$y=fu$对于一个方程确定的隐函对于对数函数$fx=和$u=gx$,其导数为数,可以通过对方程两边log_a x$,其导数为$fx$f ra c{d y}{d x}=求导来找到导数表达式=frac{1}{x lna}$f ra c{d y}{d u}c do tfrac{du}{dx}$04导数在实际问题中的应用最大值与最小值问题总结词导数在寻找函数的最值问题中具有重要作用详细描述导数可以帮助我们找到函数的极值点,即函数的一阶导数为零的点通过分析一阶导数的符号变化,我们可以确定函数在极值点附近是增加还是减少,从而确定该点为最大值点或最小值点举例例如,在经济学中,利润最大化问题可以通过求利润函数的一阶导数并令其等于零来求解速度与加速度问题总结词01导数可以描述物体的速度和加速度详细描述02物体的速度和加速度可以通过对时间函数的一阶和二阶导数进行分析得到一阶导数表示物体在某一时刻的速度,二阶导数表示物体在某一时刻的加速度举例03在物理学中,自由落体运动的速度和加速度可以通过对时间函数的一阶和二阶导数进行分析得到经济中的边际问题总结词导数在经济分析中用于研究边际成本、边际收益和边际利润等边际问题详细描述边际成本、边际收益和边际利润是一阶导数在经济学中的重要应用这些概念可以帮助企业决策者了解在生产或销售过程中增加一个单位的产品所带来的成本、收益和利润的变化情况举例在生产决策中,企业可以根据边际成本和边际收益的比较来决定最优的生产量如果边际收益大于边际成本,则增加生产量是有利的;否则,应减少生产量05导数的扩展知识高阶导数高阶导数的定义高阶导数是函数导数的连续多次求导,表示函数在某一点的切线斜率的变化率高阶导数的应用高阶导数在数学、物理和工程等领域有广泛的应用,如分析函数的极值、拐点、求解微分方程等高阶导数的计算方法高阶导数的计算需要使用递推公式或数学归纳法,对于一些复杂的函数,可能需要借助计算机代数系统进行计算导数的物理意义速度和加速度斜率热量和流量导数可以用来描述物理量如速度导数可以表示函数图像上某一点在物理和工程中,导数可以用来和加速度的变化,例如瞬时速度的切线斜率,这在几何和工程中描述热量和流量的变化,如热传和瞬时加速度有实际应用导和流体动力学中的导热率和流量系数导数与积分的关系导数是积分的逆运算积分是计算面积、体积等量的过程,而导数是计算这些量变化率的过程,因此导数是积分的逆运算导数与积分的应用导数和积分在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用,如求解函数的极值、计算面积和体积、分析物理现象等THANK YOU。