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,汇报人010203040506矩阵中的元素可以是数字、矩阵可以用于表示线性方程符号或表达式组、线性变换、向量空间等矩阵是一个由m行n列的数字矩阵的运算包括加法、减法、组成的矩形阵列乘法、转置等l矩阵的表示方法主要有两种行向量表示法和列向量表示法l行向量表示法将矩阵中的元素按照行排列,形成一行向量l列向量表示法将矩阵中的元素按照列排列,形成一列向量l矩阵的表示方法还可以通过矩阵的阶数、行列式、特征值等来表示矩阵由m行n列元素组成的矩形阵列行矩阵中水平方向的元素集合列矩阵中垂直方向的元素集合元素矩阵中的每个数称为元素,通常用aij表示第i行第j列的元素定义两个矩阵对应元素相加,得到新的矩阵加法规则两个矩阵必须具有相同的行数和列数加法运算将两个矩阵的对应元素相加,得到新的矩阵应用在求解线性方程组、矩阵分解、矩阵变换等领域有广泛应用定义矩阵乘法是将两个矩阵相乘,应用矩阵乘法在许多领域都有广得到一个新的矩阵泛的应用,如线性代数、统计学、计算机科学等添加标题添加标题添加标题添加标题运算规则矩阵乘法满足交换律、例子例如,两个2x2矩阵A和B的结合律和分配律乘法可以表示为AB=C,其中C是一个新的2x2矩阵转置矩阵的定义转置矩阵的性质转置矩阵的应用转置矩阵的运算矩阵的加法、减法、乘将矩阵的行和列互转置矩阵的转置等求解线性方程组、法、除法等运算都可换得到的新矩阵于原矩阵矩阵分解等以在转置矩阵上进行逆矩阵的定义一个矩阵的逆矩阵是指满足一定条件的矩阵逆矩阵的性质逆矩阵是唯一的,且逆矩阵的逆矩阵等于原矩阵逆矩阵的求解方法通过高斯消元法、矩阵求逆公式等方法求解逆矩阵的应用在解线性方程组、求矩阵的秩等方面有广泛应用线性方程组求解利用矩阵的性质和运算法则求解线性方程组特征值和特征向量研究矩阵的特征值和特征向量,用于分析矩阵的性质和结构矩阵分解将矩阵分解为更简单的形式,便于分析和计算线性变换研究矩阵在向量空间中的线性变换,用于描述和研究各种数学对象和问题l线性代数中的矩阵运算l微分方程的解l积分变换l概率论和统计学中的矩阵运算随机变量矩阵可以用来表示随机变量概率分布矩阵可以用来表示概率分布随机过程矩阵可以用来描述随机过程的状态转移统计推断矩阵可以用来进行统计推断,如线性回归、方差分析等计算机科学用物理学用于描经济学用于描生物学用于描于图像处理、信述物理系统的状述经济系统的状述生物系统的状号处理等领域态和变化态和变化态和变化矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数矩阵的秩等于其行向量组的秩矩阵的秩等于其列向量组的秩矩阵的秩等于其非零特征值的个数矩阵的迹矩迹的性质矩迹的应用在迹的求法通阵对角线元素阵的迹是实数矩阵分解、特过矩阵对角线的和征值计算等方元素的和计算面有广泛应用得到特征值矩阵A特征向量矩阵特征值与特征向特征值与特征向的n个特征值是n A的n个特征向量量的关系特征量的应用特征值与特征向量在个非负实数,它是n个非零向量,值与特征向量是矩阵分解、线性们满足Ax=λx,它们满足Ax=λx,一一对应的,即规划、信号处理其中x是特征向其中λ是特征值每个特征值对应等领域有广泛应量,λ是特征值一个特征向量用正定矩阵所有特征值均为正数的正定矩阵的性质正定矩阵的转置矩阵矩阵也是正定矩阵添加标题添加标题添加标题添加标题负定矩阵所有特征值均为负数的负定矩阵的性质负定矩阵的转置矩阵矩阵也是负定矩阵定义主对角线性质对角矩阵应用在求解线特殊性质对角以外的元素都为的秩等于其非零性方程组、特征矩阵的逆矩阵也0的矩阵元素的个数值和特征向量等是对角矩阵,且问题中有广泛应主对角线上的元用素互为倒数l上三角矩阵主对角线以下的元素均为0的矩阵l下三角矩阵主对角线以上的元素均为0的矩阵l特点上三角矩阵和下三角矩阵都是对称矩阵l应用在求解线性方程组、数值分析等领域有广泛应用l定义非零元素较少的矩阵l特点非零元素分布稀疏,存储效率高l应用数据挖掘、图像处理等领域l稀疏矩阵的存储方式压缩存储、稀疏存储等定义将矩阵分块矩阵的表分块矩阵的性质分块矩阵的应示用方括号分块矩阵的加法、用在求解线划分为若干个乘法、转置等运将各个子矩阵性方程组、矩子矩阵,每个算可以分解为各括起来,并用阵分解、矩阵子矩阵称为一个子矩阵的相应逗号或分号分求逆等问题中个分块运算隔有广泛应用l定义将矩阵分解为上三角矩阵、下三角矩阵和单位矩阵的乘积l性质矩阵的三角分解是唯一的l应用用于求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵、计算矩阵的秩等l计算方法使用高斯消去法、LU分解等方法进行计算正交矩阵Q满足Q^TQ=I,上三角矩阵R主对角线以上其中I为单位矩阵的元素均为0QR分解将矩阵分解为正交QR分解的应用求解线性方程组、最小二乘法、特征值分解矩阵Q和上三角矩阵R等概念矩阵的奇异应用在数据压特点矩阵的奇计算方法主要有值分解是将矩阵分两种计算方法,分缩、图像处理、异值分解具有很解为三个矩阵的乘别是直接法和迭代信号处理等领域好的稳定性和鲁积,这三个矩阵分法,其中直接法计有广泛应用棒性,能够有效别是左奇异矩阵、算速度快,但需要对角矩阵和右奇异地处理噪声和异较大的内存,而迭矩阵代法计算速度慢,常值但内存需求较小l概念将矩阵分解为特征值和特征向量的形式l特征值矩阵的特征值是矩阵的特征方程的解,表示矩阵的固有特性l特征向量矩阵的特征向量是矩阵的特征方程的解,表示矩阵的固有特性l应用矩阵的谱分解在信号处理、图像处理等领域有广泛应用汇报人。