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BIG DATAEMPOWERSTO CREATEA NEWERA平面向量的数量积坐标表示ppt课件目录CONTENTS•平面向量数量积的定义•平面向量数量积的坐标表示•平面向量数量积的应用•平面向量数量积的运算律•平面向量数量积的运算性质BIG DATAEMPOWERSTO CREATEA NEWERA01平面向量数量积的定义定义及公式定义平面向量数量积是一个标量,定义为两个向量的模长之积与它们夹角的余弦值的乘积,记作$mathbf{a}cdot mathbf{b}=|a||b|costheta$公式平面向量数量积的坐标表示公式为$mathbf{a}cdot mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2$,其中$mathbf{a}=a_1,a_2$,$mathbf{b}=b_1,b_2$几何意义表示向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的模长之积与它们夹角的余弦值的乘积,即点乘的几何意义是两个向量在垂直方向上的投影的乘积在平面直角坐标系中,点乘可以表示为两个向量在x轴和y轴上的投影的乘积之和性质和定理性质数量积满足交换律和分配律,即$mathbf{a}cdot mathbf{b}=mathbf{b}cdotmathbf{a}$和$lambdamathbf{a}cdot mathbf{b}=lambdamathbf{a}cdot mathbf{b}=mathbf{a}cdot lambdamathbf{b}$定理如果两个向量的数量积为0,则这两个向量垂直即如果$mathbf{a}cdotmathbf{b}=0$,则$mathbf{a}perp mathbf{b}$BIG DATAEMPOWERSTO CREATEA NEWERA02平面向量数量积的坐标表示坐标表示公式定义平面向量$overset{longrightarrow}{a}=x_1,y_1$,$overset{longrightarrow}{b}=x_2,y_2$,则$overset{longrightarrow}{a}cdot overset{longrightarrow}{b}=x_1x_2+y_1y_2$解释数量积定义为两个向量的对应坐标的乘积之和坐标运算性质非负性$overset{longrightarrow}{a}cdot overset{longrightarrow}{b}geq0$,当且仅当$overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}$同向或反向时取等号交换律$overset{longrightarrow}{a}cdot overset{longrightarrow}{b}=overset{longrightarrow}{b}cdot overset{longrightarrow}{a}$分配律$overset{longrightarrow}{a}+overset{longrightarrow}{b}cdotoverset{longrightarrow}{c}=overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}{c}+overset{longrightarrow}{b}cdotoverset{longrightarrow}{c}$坐标运算定理向量数量积的性质向量数量积与夹角的关系若$overset{longrightarrow}{a}=x_1,y_1$,向量$overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}=x_2,y_2$,则$overset{longrightarrow}{b}$的夹角为$theta$,则$|overset{longrightarrow}{a}|=sqrt{x_1^2+$costheta=frac{overset{longrightarrow}{a}cdoty_1^2}$,$|overset{longrightarrow}{b}|=overset{longrightarrow}{b}}{|overset{longrightarrosqrt{x_2^2+y_2^2}$,且$costheta=w}{a}|cdot|overset{longrightarrow}{b}|}$frac{overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}{b}}{|overset{longrightarrow}{a}|cdot|overset{longrightarrow}{b}|}$BIG DATAEMPOWERSTO CREATEA NEWERA03平面向量数量积的应用在解析几何中的应用向量的模长计算向量的夹角计算通过数量积,可以计算向量的模长,通过两个向量的数量积,可以计算这即向量的大小两个向量之间的夹角向量的投影长度计算向量的垂直与平行判断通过数量积,可以计算一个向量在另如果两个向量的数量积为0,则这两一个向量上的投影长度个向量垂直;如果数量积不为0,则这两个向量不垂直在物理中的应用力的合成与分解功与功率在物理中,力是一个向量,通在物理中,功和功率都是标量,过数量积可以计算合力与分力可以通过向量的数量积来计算的大小和方向动量与冲量电场与磁场在物理中,动量和冲量都是向在电场和磁场中,电场强度和量的概念,通过数量积可以计磁场强度都是向量,通过数量算它们的值积可以计算电场力和磁场力的大小和方向在线性代数中的应用矩阵的乘法特征值与特征向量在矩阵乘法中,数量积的概念被广泛应用,在特征值与特征向量的计算中,需要用到向它是矩阵乘法的基础量的数量积正交矩阵与正交变换投影矩阵与投影变换在正交矩阵和正交变换中,需要用到向量的在投影矩阵和投影变换中,需要用到向量的数量积来判断向量是否正交数量积来计算投影向量和投影矩阵BIG DATAEMPOWERSTO CREATEA NEWERA04平面向量数量积的运算律交换律总结词详细描述平面向量数量积的交换律是指数量积的结果不依赖于根据平面向量数量积的定义,对于任意两个向量向量的排列顺序$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$,有$overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}{b}=overset{longrightarrow}{b}cdotoverset{longrightarrow}{a}$,即交换两个向量的位置,数量积的结果不变结合律•总结词平面向量数量积的结合律是指数量积的结果不依赖于括号的位置•详细描述根据平面向量数量积的定义,对于任意三个向量$\overset{\longrightarrow}{a}$、$\overset{\longrightarrow}{b}$和$\overset{\longrightarrow}{c}$,有$\overset{\longrightarrow}{a}+\overset{\longrightarrow}{b}\cdot\overset{\longrightarrow}{c}=\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}{c}+\overset{\longrightarrow}{b}\cdot\overset{\longrightarrow}{c}$,即改变括号的位置,数量积的结果不变数乘律总结词详细描述平面向量数量积的数乘律是指数量积结果与标量乘法根据平面向量数量积的定义,对于任意向量的结合律$overset{longrightarrow}{a}$和标量$k$,有$koverset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}{b}=koverset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}{b}=overset{longrightarrow}{a}cdotkoverset{longrightarrow}{b}$,即标量与向量的乘法满足结合律,数量积结果不变BIG DATAEMPOWERSTO CREATEA NEWERA05平面向量数量积的运算性质分配律分配律对于任意向量$overset{longrightarrow}{a}$、$overset{longrightarrow}{b}$和实数$λ$,有$λoverset{longrightarrow}{a}+overset{longrightarrow}{b}=λoverset{longrightarrow}{a}+λoverset{longrightarrow}{b}$解释分配律表明向量数量积对于标量乘法和向量加法是可分配的,即标量可以分配到向量的每一部分向量积的性质非零向量的数量积为零若$overset{longrightarrow}{a}cdot overset{longrightarrow}{b}=0$且$overset{longrightarrow}{a}neqoverset{longrightarrow}{0}$,则$overset{longrightarrow}{b}=overset{longrightarrow}{0}$向量积为零的性质若$overset{longrightarrow}{a}cdot overset{longrightarrow}{b}=0$,则$overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}$垂直解释这些性质表明向量数量积为零时,两个向量之间的关系向量积的运算定理向量积的交换律$overset{longrightarrow}{a}cdot overset{longrightarrow}{b}=overset{longrightarrow}{b}cdot overset{longrightarrow}{a}$向量积的结合律$overset{longrightarrow}{a}+overset{longrightarrow}{b}cdotoverset{longrightarrow}{c}=overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}{c}+overset{longrightarrow}{b}cdotoverset{longrightarrow}{c}$解释这些定理表明向量数量积满足交换律和结合律,类似于标量的运算性质THANKS感谢观看。