复合函数单调性课件

复合函数单调性ppt课件目录•复合函数的定义与性质•单调性的概念与性质•复合函数单调性的判定•复合函数单调性的应用•复合函数单调性的扩展知识01复合函数的定义与性质复合函数的定义复合函数的定义复合函数的定义域由两个或两个以上的函数通过代换而由函数$u=gx$的定义域和函数$y组成的新函数称为复合函数=fu$的定义域共同决定复合函数的表示方法设$y=fu$，$u=gx$，则复合函数为$y=fgx$复合函数的性质可导性若$fu$和$gx$在各自的定义域连续性内可导，则复合函数$y=fgx$在定义域内也可导复合函数在定义域内连续，即若$fu$和$gx$在各自的定义域内连续，则复合函数$y=fgx$在定义域内也连续单调性复合函数的单调性取决于内层函数和外层函数的单调性复合函数的导数导数的定义01设$y=fu$在点$u_0$处可导，$u=gx$在点$x_0$处可导，则复合函数$y=fgx$在点$x_0$处的导数为$frac{d}{dx}fgx|_{x=x_0}=frac{d}{du}fu|_{u=gx_0}cdot frac{d}{dx}gx|_{x=x_0}$导数的几何意义02表示曲线在某点的切线斜率导数的应用03判断函数的单调性、求极值、求拐点等02单调性的概念与性质单调性的定义定义如果对于任意$x_{1}x_{2}$，都有$fx_{1}leq fx_{2}$（或$fx_{1}geqfx_{2}$），则称函数$fx$在区间$I$上单调递增（或单调递减）数学符号表示若$fx$在区间$I$上单调递增，则$fx geq0$；若$fx$在区间$I$上单调递减，则$fx leq0$单调性的性质性质1如果函数$fx$在区间$I$上单调递增（或单调递减），那么对于任意$x_{1},x_{2}in I$，当$x_{1}x_{2}$时，有$fx_{1}fx_{2}$（或$fx_{1}fx_{2}$）性质2如果函数$fx$在区间$I$上单调递增（或单调递减），那么对于任意$x inI$，当$a b$时，有$fafb$（或$fafb$）性质3如果函数$fx$在区间$I$上单调递增（或单调递减），那么对于任意$x inI$，当$a leqxleq b$时，有$fa leqfx leqfb$（或$fa geqfx geqfb$）单调性的判定方法方法1方法2方法3求导数如果导数大于等于0利用函数的单调性定义进行判断利用函数的导数符号进行判断（或小于等于0），则函数在该选取两个数$x_{1},x_{2}$，判断如果导数大于等于0（或小于等区间内单调递增（或单调递减）$frac{fx_{2}-fx_{1}}{x_{2}-于0），则函数在该区间内单调x_{1}}$的符号递增（或单调递减）03复合函数单调性的判定复合函数单调性的判定定理01设$y=fu$和$u=gx$，如果$y=fu$在区间$D_1$上单调增加，而$u=gx$在区间$D_2$上单调增加，则复合函数$y=fgx$在区间$D_2$上单调02增加设$y=fu$和$u=gx$，如果$y=fu$在区间$D_1$上单调减少，而$u=gx$在区间$D_2$上单调减少，则复合函数$y=fgx$在区间$D_2$上单调减少复合函数单调性的判定方法010203观察法导数法定义法通过观察复合函数的表达求出复合函数的导数，通通过定义域内的任意两点式，判断内层函数和外层过分析导数的正负来判断来比较函数值的大小，从函数的单调性，从而得出复合函数的单调性而判断复合函数的单调性复合函数的单调性复合函数单调性的应用实例单调性在不等式证明中的应用01利用复合函数单调性可以证明不等式单调性在极值问题中的应用02利用复合函数单调性可以求函数的极值单调性在经济中的应用03利用复合函数单调性可以分析经济现象，如价格、需求等04复合函数单调性的应用在数学中的应用解决复杂函数问题证明不等式求解方程复合函数单调性是解决复利用复合函数单调性，可通过分析复合函数的单调杂函数问题的重要工具，以证明一些数学不等式，性，可以找到方程的解或如求函数的极值、判断函如均值不等式、柯西不等解的个数数的增减性等式等在物理中的应用描述物理现象复合函数单调性可以用来描述物理现象的变化规律，如温度随时间的变化、速度随位移的变化等解决物理问题利用复合函数单调性，可以解决一些物理问题，如求物体的运动轨迹、分析电路的电流变化等预测物理结果通过分析复合函数的单调性，可以预测物理现象的结果或趋势在经济中的应用分析市场需求复合函数单调性可以用来分析市场需求的变化规1律，如商品价格与需求量的关系、消费者偏好与需求量的关系等制定营销策略利用复合函数单调性，企业可以制定更加有效的2营销策略，如价格策略、促销策略等预测经济趋势通过分析复合函数的单调性，可以预测经济趋势3或市场变化，为企业决策提供依据05复合函数单调性的扩展知识高阶复合函数的单调性总结词详细描述举例高阶复合函数的单调性是指函数高阶复合函数是指函数经过多次设$fx=x^2$，$gx=经过多次复合后，其单调性如何复合运算后的结果，其单调性受frac{1}{x}$，$hx=log_2x$，变化到多个因素的影响在确定高阶考虑复合函数$fghx=复合函数的单调性时，需要综合log_2x^2$在$x1$的区考虑各个复合运算的影响，以及间内，该复合函数是单调递增的，函数本身的性质而在$0x1$的区间内，该复合函数是单调递减的多变量复合函数的单调性总结词详细描述举例设$fx,y=x^2+y^2$，这是一个多变量复合函数是指一个函数包含多关于$x$和$y$的复合函数在$x多变量复合函数的单调性是指函数在个自变量，这些自变量可以同时变化0,y0$的区域中，该复合函数是多个变量同时变化时，其值的变化趋在确定多变量复合函数的单调性时，单调递增的；而在$x0,y0$的势需要考虑各个自变量之间的相互作用区域中，该复合函数是单调递减的以及函数本身的性质复合函数单调性与极值的关系总结词复合函数的单调性与极值之间存在密切关系详细描述当一个复合函数在某区间内单调递增或递减时，该函数在该区间内可能存在极值点极值点是函数值发生变化的点，它们对于确定函数的整体性质具有重要意义举例设$fx=x^3$，这是一个关于$x$的单调递增的复合函数在$x=0$处，该函数取得极小值点；而在$x0$或$x0$的区间内，该函数是单调递增的。