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《数据结构MST》PPT课件•MST基本概念•MST基本算法•MST算法优化CATALOGUE•MST算法实践目录•MST算法扩展01MST基本概念MST定义MST定义最小生成树(Minimum SpanningTree,MST)是指一个连通加权无向图中,一个连接所有顶点的子图,使得所有边的权值和最小最小生成树的数学模型给定一个连通加权无向图G=V,E,其中V是顶点集,E是边集,权值函数w:E→R+求一个子图T=V,E,使得V包含图G的所有顶点,E是E的子集,且T的权值和最小MST应用场景通信网络电路设计物流配送最小生成树可以用于设计通信网在集成电路设计中,最小生成树在物流配送中,最小生成树可以络的路由,使得所有节点都能连可以用于布线,使得所有元件都用于规划配送路线,使得总行驶通且总传输成本最低能连接且线路总长度最短距离最短MST算法分类要点一要点二普里姆算法(Prims Algorithm)克鲁斯卡尔算法(KruskalsAlgorithm)从任意一个顶点开始,每次选择连接当前生成树与未连接按照边的权值从小到大排序,依次选择边,如果选择的边顶点的最小边,直到所有顶点都连接在一起不会与已选择的边构成环,则加入到生成树中,直到所有顶点都连接在一起02MST基本算法Prim算法总结词Prim算法是一种求解最小生成树问题的贪心算法详细描述Prim算法从图中的任意一个顶点开始,每次选择距离已选顶点集合最近的顶点加入集合,直到所有顶点都被加入该算法利用了贪心策略,每次选择局部最优解,最终得到全局最优解Kruskal算法总结词Kruskal算法是一种基于并查集的求解最小生成树问题的算法详细描述Kruskal算法按照边的权值从小到大排序,然后依次选择边,如果这条边连接的两个顶点不在同一个连通分量中,则加入最小生成树中该算法通过不断扩大连通分量,最终得到最小生成树Dijkstra算法总结词Dijkstra算法是一种求解单源最短路径问题的贪心算法详细描述Dijkstra算法从源顶点开始,每次找到距离源顶点最近的顶点,然后更新其相邻顶点到源顶点的距离,直到所有顶点都被处理该算法利用贪心策略,每次选择局部最优解,最终得到全局最优解Bellman-Ford算法总结词Bellman-Ford算法是一种求解单源最短路径问题的动态规划算法详细描述Bellman-Ford算法从源顶点开始,通过动态规划的方式逐步更新每个顶点到源顶点的距离,直到所有顶点都被处理该算法可以处理带有负权重的图,并且在最坏情况下时间复杂度为OV*E,其中V是顶点数,E是边数03MST算法优化最小生成树唯一性最小生成树唯一性最小生成树唯一性的证明在一个连通加权无向图中,可能存在多通过反证法,假设存在两棵不同的最小生棵权值和最小的生成树,但它们是等价成树,它们之间至少存在一个边不同,那的VS么可以通过调整这条边来得到一棵权值和更小的生成树,与最小生成树的定义矛盾最小生成树性质最小生成树的边数01在一个连通加权无向图中,最小生成树的边数等于顶点数减一最小生成树的权值和02在一个连通加权无向图中,最小生成树的权值和等于所有边的权值之和减去一个常数最小生成树性质的应用03在实践中,可以利用最小生成树的性质来优化算法,提高计算效率最小生成树判定最小生成树的判定方法可以通过Kruskal算法或Prim算法来判断一个图是否存在最小生成树Kruskal算法按照边的权值从小到大排序,依次选择边,如果这条边不会与已选择的边形成环,则加入到最小生成树中Prim算法从任一顶点开始,每次选择一条权值最小的边,如果这条边不会与已选择的边形成环,则加入到最小生成树中04MST算法实践最小生成树问题的实际应用通信网络设计在通信网络中,最小生成树算法可以用于设计低成城市交通网络规划本的通信线路,确保所有节点都能相互通信通过最小生成树算法,可以找到连接所有城市的最低成本路线,优化交通网络电力系统网络优化在电力系统中,最小生成树算法可以用于构建低损耗的输电网络,提高电力传输效率最小生成树算法的实现步骤选择起始节点构建最小生成树选择一个节点作为最小生成树从根节点开始,按照权值从小的根节点到大选择边,直到所有节点都被连接起来构建无向图计算边权值输出最小生成树将问题转化为无向图,并确定遍历所有边,计算每条边的权输出构建好的最小生成树所有节点和边值最小生成树算法的优缺点比较01优点02适用于大型网络优化问题,能够快速找到最优解03可以处理带权重的边,更加贴近实际应用场景最小生成树算法的优缺点比较•可以用于解决多种实际问题,具有广泛的应用价值最小生成树算法的优缺点比较01缺点对于大规模问题,计算量较大,需要较高02的计算资源对于某些特定问题,可能存在更高效的算03法在某些情况下,可能存在多个最优解,算04法只能找到其中一个05MST算法扩展多加权最小生成树问题定义在给定的带权重的连通图中,寻找一棵权值总和最小的生成树算法可以采用Kruskal算法或Prim算法进行扩展,通过增加边的权重来处理多加权最小生成树问题应用在通信网络、交通网络等领域有广泛应用,用于优化网络布局和降低成本最小生成森林问题定义应用给定一个无向图,将其分解为若干个在社交网络分析、推荐系统等领域有不相交的子图,每个子图是一棵树,广泛应用,用于构建社区和发现用户寻找一棵子树使得该子图中的所有边兴趣的权值和最小算法可以采用Kruskal算法或Prim算法进行扩展,通过将多个顶点划分为一个集合,然后寻找连接这些集合的边,形成森林最小生成图问题定义给定一个带权重的连通图,寻找一种方式将该图1分解为若干个子图,使得所有子图的权值和最小算法可以采用Kruskal算法或Prim算法进行扩展,通2过将多个顶点划分为一个集合,然后寻找连接这些集合的边,形成子图应用在图像处理、化学分子结构分析等领域有广泛应3用,用于简化模型和提高计算效率THANKS感谢观看。