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高数课件14凹凸性单击此处添加副标题汇报人目录0102添加目录项标题凹凸性的定义0304凹凸性的性质凹凸性的应用0506凹凸性的判定方法凹凸性的扩展知识01添加章节标题02凹凸性的定义凹函数和凸函数的定义凹函数对于凸函数对于凹函数的图像凹函数和凸函定义域内的任定义域内的任是向下的,凸数的定义是相意两点x1和x2,意两点x1和x2,函数的图像是对的,即一个如果如果向上的函数是凹函数,fx1≥fx2,fx1≤fx2,那么它的反函则称fx为凹则称fx为凸数就是凸函数函数函数凹凸性的几何意义凸性函数在凹性函数在凸性函数函凹性函数函某点处的切线某点处的切线数在某点处的数在某点处的斜率大于等于斜率小于等于切线斜率大于切线斜率小于零零等于零,且函等于零,且函数值在该点处数值在该点处达到最大值达到最小值凹凸性的判定方法利用二阶导数判利用一阶导数判利用图像判断利用极限判断断如果二阶导断如果一阶导如果图像是向下如果极限存在且数大于0,则为数大于0,则为的,则为凹函数;大于0,则为凹凹函数;如果二凹函数;如果一如果图像是向上函数;如果极限阶导数小于0,阶导数小于0,的,则为凸函数存在且小于0,则为凸函数则为凸函数则为凸函数03凹凸性的性质凹凸函数的性质凸函数对于任意x1,x2,y1,y2,若x1x2,则fx101fx2凹函数对于任意x1,x2,y1,y2,若x1x2,则fx102fx2凸函数的二阶导数大于等于003凹函数的二阶导数小于等于004凸函数的一阶导数单调递增05凹函数的一阶导数单调递减06凹凸性在函数图像上的表现凸函数函数图像呈上升趋势,即函数值随自变量增大而增大凹函数函数图像呈下降趋势,即函数值随自变量增大而减小拐点凸函数和凹函数之间的转折点,即函数图像由上升变为下降或由下降变为上升的点极值凸函数和凹函数在拐点处的函数值,即函数图像的最高点和最低点凹凸性与函数极值的关系l凹凸性是函数在某点附近的性质,与函数在该点的极值有关l凸函数在极小值点处具有凹性,凹函数在极大值点处具有凸性l凸函数的极小值点处,其导数大于等于0l凹函数的极大值点处,其导数小于等于0l凸函数的极小值点处,其二阶导数大于等于0l凹函数的极大值点处,其二阶导数小于等于004凹凸性的应用凹凸性在数学分析中的应用凸函数与凹凸函数与凹凸函数与凹凸函数与凹凸函数与凹凸函数与凹函数的定义函数的性质函数的应用函数的优化函数的极限函数的积分问题问题问题凹凸性在经济学中的应用需求曲线描述消费者对商品的需求量与价格之间的关系供给曲线描述生产者对商品的供给量与价格之间的关系边际效用递减规律消费者对商品的需求量随着价格的上升而减少边际成本递增规律生产者对商品的供给量随着价格的上升而增加价格均衡需求曲线与供给曲线的交点,表示市场达到均衡状态价格弹性描述消费者对价格变动的反应程度,用于预测市场变化凹凸性在物理学中的应用热力学研究热能的转化、电磁学研究电场、磁场和传递和利用电磁波的性质和应用光学研究光的传播、反射、量子力学研究微观粒子的折射等现象运动和相互作用规律力学研究物体的平衡、运相对论研究时间和空间的动和受力情况性质以及物质和能量的关系05凹凸性的判定方法导数判定法导数存在且连续导数在区间内单导数在区间内单导数在区间内恒导数在区间内恒导数在区间内恒调递增调递减为0为正为负二阶导数判定法添加项标题添加项标题判断函数fx在区间[a,b]上的凹凸性计算fx在区间[a,b]上的二阶导数fx添加项标题添加项标题如果fx在区间[a,b]上恒为正,则fx在区间[a,b]上如果fx在区间[a,b]上恒为负,则fx在区间[a,b]上是凹函数是凸函数添加项标题如果fx在区间[a,b]上有正有负,则fx在区间[a,b]上既不是凹函数也不是凸函数切线判定法l切线判定法的定义通过比较函数在某点的切线斜率与该点的函数值,来判断函数在该点的凹凸性l切线判定法的步骤首先,计算函数在某点的切线斜率;然后,比较切线斜率与该点的函数值;最后,根据比较结果判断函数在该点的凹凸性l切线判定法的应用切线判定法可以用于判断一元函数、多元函数、隐函数等函数的凹凸性l切线判定法的局限性切线判定法只能判断函数在某点的凹凸性,不能判断整个函数的凹凸性定义判定法正二阶导数函数在该点处为凸函数判定方法通过计算函数在负二阶导数函数在该点处某点处的二阶导数,判断其为凹函数符号是否为正或负凹凸性定义函数在某点处注意事项凹凸性判定法只的凹凸性是指函数在该点处适用于二阶可导的函数的二阶导数符号06凹凸性的扩展知识凹凸性的连续性和可微性凹凸性的连续性凹凸性是函数凹凸性的可导性凹凸性是函数在某点附近的局部性质,与函数在某点附近的局部性质,与函数的连续性无关的可导性无关添加标题添加标题添加标题添加标题凹凸性的可微性凹凸性是函数凹凸性的光滑性凹凸性是函数在某点附近的局部性质,与函数在某点附近的局部性质,与函数的可微性无关的光滑性无关凹凸性与函数的光滑性凹凸性函数在光滑性函数在凹凸性与光滑性凹凸性与光滑性某点处的二阶导某点处的一阶导的关系凹凸性的应用在优化问题、微分方程数符号数连续性是光滑性的必要等领域有广泛应条件用凹凸性与函数的单调性l凹凸性函数在某点处的二阶导数符号决定了该点的凹凸性l单调性函数在某点处的一阶导数符号决定了该点的单调性l凹凸性与单调性的关系凹凸性与单调性是函数在某点处的二阶导数和一阶导数的符号决定的l凹凸性与单调性的应用在解决实际问题时,可以利用凹凸性与单调性来判断函数的极值和拐点感谢观看汇报人。