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《线代复习终极资料》ppt课件目录•线性代数基础概念CONTENTS•矩阵和行列式•线性方程组•向量和向量空间•特征值和特征向量•线性变换和矩阵表示01线性代数基础概念矩阵运算矩阵减法转置矩阵将一个矩阵的对应元素减去另一将矩阵的行变为列,列变为行得个矩阵的对应元素得到新的矩阵到新的矩阵01020304矩阵加法矩阵乘法将两个矩阵的对应元素相加得到通过对应元素相乘并求和得到新新的矩阵的矩阵行列式行列式的定义行列式的性质行列式的计算方法由一个n阶方阵的元素按照一定的行列式与转置行列式相等、互换按照定义展开计算,也可以使用代数规则组成的数值两行或两列,行列式的值变号、公式计算一行或一列乘以一个常数,行列式的值也乘以这个常数向量与向量空间向量的定义向量的加法由n个实数组成的序列对应元素相加得到新的向量向量的数乘向量空间一个实数与一个向量相乘得到新的向由所有形如a1x1+a2x2+...+anxn的量向量构成的集合,其中a1,a2,...,an是实数且不全为0线性方程组与矩阵表示线性方程组的定义01由n个线性方程组成的方程组线性方程组的解法02通过消元法或代入法求解线性方程组的矩阵表示03将线性方程组的系数和常数项用矩阵表示,形成增广矩阵或系数矩阵02矩阵和行列式矩阵的定义与性质总结词矩阵是线性代数中的基本概念,表示为二维数组,具有行和列详细描述矩阵是一个由数字组成的矩形阵列,通常表示为二维数组,具有行和列矩阵的行数和列数可以是不同的,但通常使用大写字母来表示矩阵的维度行列式的定义与性质总结词行列式是一个数值,表示矩阵中元素的一种特定计算结果详细描述行列式是一个数值,由矩阵中的元素按照特定的排列顺序和计算规则得出行列式对于理解矩阵的某些性质和解决线性方程组等问题具有重要意义矩阵的运算规则总结词矩阵的加法、数乘、乘法等运算规则是线性代数中的基本运算详细描述矩阵的加法是将两个矩阵对应位置的元素相加;数乘是将矩阵中的每个元素都乘以一个常数;矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数,列数等于第二个矩阵的列数行列式的性质与计算方法总结词行列式的性质包括交换律、结合律、分配律等,计算方法包括展开法、递推法等详细描述行列式具有交换律、结合律和分配律等性质,这些性质对于理解行列式的计算方法和简化计算过程非常重要行列式的计算方法包括展开法和递推法等,其中展开法是最基础的方法之一,通过将行列式按照某一行或某一列展开,得到一个更简单的表达式03线性方程组线性方程组解法高斯消元法矩阵分解法通过行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵,从通过迭代公式逐步逼近方程的解,常用的有而求解方程组雅可比迭代法和SOR方法迭代法最小二乘法将系数矩阵分解为几个简单的矩阵,如LU分通过最小化误差平方和来求解线性方程组,解、QR分解等,便于求解适用于无解或无穷多解的情况线性方程组的应用01020304物理问题工程问题经济问题社会科学问题在物理领域中,线性方程组常在工程领域中,线性方程组广在经济学中,线性方程组用于在社会学、心理学等领域,线用于描述物理现象和规律,如泛应用于结构设计、流体动力描述经济关系和规律,如供需性方程组也用于描述社会现象力学、电磁学等学等领域平衡、投入产出分析等和人类行为规律04向量和向量空间定义与性质总结词详细描述向量和向量空间的基本定义,包括向量的表示、向量的模、向量的加法、数乘等详细描述向量是具有大小和方向的量,通常用有向线段表示向量空间是一个抽象的概念,它是一个满足一定条件的向量集合,其中向量可以进行加法、数乘等运算线性组合与线性相关总结词详细描述线性组合和线性相关的概念,以及它们在向量空间中的意义详细描述线性组合是向量空间中向量的一种运算方式,通过给定向量系数,将多个向量进行组合得到新的向量线性相关是指一组向量可以通过数乘和加法运算相互表示,即存在不全为零的标量使得这些标量与向量一一对应基底与维数总结词详细描述基底和维数在向量空间中的概念和应用详细描述基底是向量空间中一组线性无关的向量,它们可以用来表示空间中的任意向量维数是向量空间的特征,表示空间中独立向量的个数,即基底的个数子空间与同维数子空间总结词详细描述详细描述子空间和同维数子空间的概念,以及它们在向详细描述子空间和同维数子空间的概念,以及它们在向量空间中的关系量空间中的关系05特征值和特征向量特征值和特征向量的定义要点一要点二特征值特征向量如果存在一个标量λ,使得矩阵A乘以向量x得到λx,则λ是如果存在一个非零向量x,使得Ax=λx,则x是矩阵A关于矩阵A的一个特征值特征值λ的一个特征向量特征值和特征向量的性质特征值和特征向量与矩阵的秩有关,秩是矩阵中非零子式的最高阶数特征值和特征向量的数量与矩阵的阶数有关,对于n阶矩阵,有n个特征值和n个特征向量(不考虑零特征值对应的特征向量)特征值和特征向量的计算方法定义法通过定义直接计算特征值和特征向量公式法迭代法利用特征多项式计算特征值,然后求解线性利用迭代公式不断逼近特征值和特征向量方程组得到特征向量特征值和特征向量的应用在数值分析中,特征值和特征向量用在物理、工程等领域,特征值和特征于研究线性微分方程、差分方程等的向量用于研究振动、波动等问题稳定性VS06线性变换和矩阵表示线性变换线性变换的定义线性变换是向量空间中的一种映射,它将向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量,保持向量的加法和标量乘法的性质线性变换的性质线性变换具有一些重要的性质,如线性变换的加法性质、数乘性质、结合性质、恒等变换性质和反演性质等矩阵表示线性变换可以用矩阵来表示,通过矩阵的乘法运算可以方便地实现线性变换矩阵表示矩阵的定义矩阵是一个由数字组成的矩形阵列,可以表示向量和线性变换之间的关系矩阵的运算矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算都有明确的定义和规则矩阵的应用矩阵在许多领域都有广泛的应用,如线性方程组、线性变换、图像处理和机器学习等感谢您的观看THANKS。