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2023REPORTING《数值分析复习》ppt课件2023•绪论•插值法目录•函数逼近与拟合•数值积分与微分CATALOGUE•常微分方程的数值解法•线性方程组的数值解法2023REPORTINGPART01绪论数值分析的定义与重要性数值分析的定义数值分析是一门研究数值计算方法及其应用的学科,旨在解决各种数学问题,如微积分、线性代数、微分方程等数值分析的重要性在实际应用中,许多数学问题无法得到精确解,而数值分析提供了近似解的方法,对于科学研究、工程技术和经济领域具有重要意义数值分析的背景与发展数值分析的背景随着计算机技术的不断发展,数值计算方法的应用越来越广泛,数值分析成为解决实际问题的重要工具数值分析的发展数值分析经历了从简单到复杂、从低效到高效的演变过程,不断有新的数值计算方法被提出和改进数值分析的基本概念010203数值近似误差控制迭代法数值近似是数值分析的核心概念,误差控制是数值分析的重要手段,迭代法是数值分析中常用的方法指通过计算得到近似解代替精确通过误差估计和修正,提高近似之一,通过不断迭代逼近精确解解的方法解的精度2023REPORTINGPART02插值法插值法的定义与原理插值法定义插值法是一种通过已知数据点,估计未知数据点的方法插值法原理插值法基于最小二乘原理,通过已知数据点构造一个多项式函数,使得该函数在已知数据点上的取值与实际数据一致,从而对未知数据点进行估计插值法的应用插值法广泛应用于科学计算、工程技术和金融等领域,用于数据拟合、预测和估计等拉格朗日插值法拉格朗日插值法的定义拉格朗日插值法是一种通过已知数据点,构造一个多项式函数的方法拉格朗日插值法的原理拉格朗日插值法基于拉格朗日插值基函数,通过构造一个多项式函数,使得该函数在已知数据点上的取值与实际数据一致拉格朗日插值法的步骤首先选取适当的插值基函数,然后根据已知数据点确定基函数的系数,最后构造出多项式函数牛顿插值法牛顿插值法的定义牛顿插值法是一种通过已知数据点,构造一个多项式函数的方法牛顿插值法的原理牛顿插值法基于差商的性质,通过构造一个差分方程组,求解得到多项式函数的系数牛顿插值法的步骤首先计算差商,然后根据差商构造差分方程组,最后求解差分方程组得到多项式函数的系数差商与差分差商的定义差商的性质差商是指在给定自变量的一组取值下,函数差商具有线性性质、差商的差商等于该点的值的差与其对应的自变量的差的比值导数等性质差分的定义差分的性质差分是指两个相邻自变量对应的函数值的差差分具有线性性质、差分的差分等于该点的二阶导数等性质2023REPORTINGPART03函数逼近与拟合函数逼近与拟合的定义与原理函数逼近用已知的简单函数来近似表示未知的复杂函数逼近原理逼近方法通过选取适当的简单函数,使得该函数在某基于代数多项式、三角多项式、样条函数等种度量下的误差最小最小二乘法拟合最小二乘法01通过最小化误差的平方和来寻找最佳函数匹配线性最小二乘法02适用于线性回归问题,通过求解线性方程组来找到最佳参数非线性最小二乘法03适用于非线性回归问题,通过迭代或优化算法来找到最佳参数曲线拟合的参数优化方法梯度下降法牛顿法通过迭代更新参数,使得误差函数逐渐减小,利用泰勒级数展开,通过求解二阶导数矩阵来直至达到局部最小值找到最佳参数拟牛顿法改进牛顿法,通过迭代更新二阶导数矩阵来近似牛顿法的二阶导数矩阵2023REPORTINGPART04数值积分与微分数值积分的定义与原理数值积分定义数值积分是一种通过近似方法计算定积分的近似值的方法数值积分原理通过将积分区间划分为若干小区间,然后在每个小区间上选择一个代表点,并计算这些代表点上函数的值的加权和,得到定积分的近似值数值积分方法常见的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式定义01牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的一个基本公式,用于计算定积分的值牛顿-莱布尼兹公式形式02如果函数fx在区间[a,b]上连续,且Fx是fx的一个原函数,则定积分∫fxdx=Fb-Fa牛顿-莱布尼兹公式的应用03牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常用方法之一,尤其适用于已知原函数的积分复化求积法复化求积法定义复化求积法是一种通过将积分区间划分为若干小区间,并在每个小区间上应用牛顿-莱布尼兹公式来计算定积分的近似值的方法复化求积法步骤首先将积分区间划分为n个等长的子区间,然后在每个子区间上选择一个代表点,并应用牛顿-莱布尼兹公式计算这些代表点上函数的值的加权和,得到定积分的近似值复化求积法的收敛性当划分的小区间数目趋于无穷时,复化求积法的近似值将收敛于定积分的真实值数值微分的方法数值微分定义数值微分原理数值微分方法数值微分是一种通过近似方法计通过在函数图像上取两点,并计常见的数值微分方法包括中点法、算函数在某一点的导数的近似值算这两点之间函数的值的平均变差分法等的方法化率,得到函数在该点的导数的近似值2023REPORTINGPART05常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法的定义与原理定义数值解法是求解常微分方程近似解的方法,通过离散化微分方程,用差分代替微分,将连续问题转化为离散问题,从而得到数值解原理数值解法基于有限差分近似原理,通过构造离散点上的数值近似解,逼近原微分方程的真解欧拉方法定义原理欧拉方法是常微分方程数值解法中的一欧拉方法基于线性化微分方程的思想,将种简单方法,通过已知初值和步长,逐微分方程转化为差分方程,通过迭代求解步逼近微分方程的解VS龙格-库塔方法定义龙格-库塔方法是常微分方程数值解法中的一种常用方法,通过已知初值和步长,逐步逼近微分方程的解原理龙格-库塔方法基于泰勒级数展开的思想,将微分方程转化为差分方程,通过迭代求解步长与误差控制步长误差控制步长是离散化过程中相邻两个离散点之间的误差控制是数值解法中的重要概念,通过控距离,步长的大小直接影响数值解的精度和制误差的大小来保证数值解的精度和稳定性稳定性常用的误差控制方法有后验误差估计和步长自适应调整等2023REPORTINGPART06线性方程组的数值解法线性方程组的数值解法的定义与原理定义原理线性方程组的数值解法是指通过数值计算方基于数学和计算机科学的基本原理,通过迭法求解线性方程组的方法代或直接方法求解线性方程组,得到近似解高斯消元法概述高斯消元法是一种直接求解线性方程组的方法,通过消元和回代过程求解未知数步骤适用范围将线性方程组转化为上三角矩阵,然后通过适用于系数矩阵为方阵且主元存在的情况回代过程求解未知数迭代法(雅可比、高斯-赛德尔)概述迭代法是一种求解线性方程组的迭代过程,通过不断迭代逼近解雅可比迭代法利用已知的迭代初值和迭代公式,不断迭代求解未知数高斯-赛德尔迭代法利用已知的迭代初值和迭代公式,通过逐次更新解向量逼近解适用范围适用于系数矩阵为稀疏矩阵或系数矩阵难以直接计算的情况超松弛迭代法(SOR)概述步骤适用范围超松弛迭代法是一种改进的迭代法,在迭代过程中,利用已知的解向量和适用于系数矩阵为稀疏矩阵或系数矩通过引入松弛参数提高收敛速度松弛参数,不断更新解向量,直到满阵难以直接计算的情况,且收敛速度足收敛条件较快2023REPORTINGTHANKS感谢观看。