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《平面向量复习小结》课件THE FIRSTLESSON OFTHE SCHOOLYEARCONTENTS目录•平面向量的基本概念•向量的线性运算•向量的数量积与向量积•向量的坐标表示与运算•向量的应用•复习题与答案解析01平面向量的基本概念平面向量的定义总结词平面向量是二维空间中的有向线段,由起点和终点唯一确定详细描述平面向量是一种具有方向和长度的量,表示为$overset{longrightarrow}{AB}$,其中A是起点,B是终点在平面直角坐标系中,向量可以用坐标表示,如$overset{longrightarrow}{AB}=x_2-x_1,y_2-y_1$向量的模总结词向量的模表示向量的长度或大小详细描述向量的模定义为$left|overset{longrightarrow}{AB}right|=sqrt{x_2-x_1^2+y_2-y_1^2}$向量的模具有一些基本性质,如$left|overset{longrightarrow}{AB}right|=left|overset{longrightarrow}{CD}right|$当且仅当$AB=CD$向量的加法、数乘运算要点一要点二总结词详细描述向量的加法运算满足平行四边形法则,数乘运算满足分配向量的加法运算可以通过平行四边形法则进行,即律$overset{longrightarrow}{AB}+overset{longrightarrow}{CD}=overset{longrightarrow}{AC}+overset{longrightarrow}{DB}$数乘运算满足分配律,即$koverset{longrightarrow}{AB}+overset{longrightarrow}{CD}=koverset{longrightarrow}{AB}+koverset{longrightarrow}{CD}$01向量的线性运算向量的线性组合010203定义性质计算方法向量的线性组合是由若干线性组合的结果仍为向量,根据给定的向量和系数,向量按照一定比例和规则且线性组合满足交换律、按照线性组合的定义进行组合而成的向量结合律和分配律计算向量的线性关系定义判定方法通过解线性方程组来判断向量之间是向量之间存在线性关系,当且仅当存否存在线性关系在实数$k_1,k_2,...,k_n$,使得$k_1vec{a_1}+k_2vec{a_2}+...+k_n vec{a_n}=vec{0}$性质线性关系具有传递性、对称性和反对称性向量的线性方程组定义解法应用包含向量的线性方程组是通过消元法、代入法或矩在物理、工程和经济学等由若干个包含向量的等式阵法等数学方法求解线性领域中,线性方程组广泛组成的方程组方程组应用于解决实际问题01向量的数量积与向量积向量的数量积定义01两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a}cdot mathbf{b}=|mathbf{a}||mathbf{b}|cos theta$,其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角几何意义02数量积表示两个向量在方向上的相似程度,即两个向量之间的夹角余弦值物理意义03在物理中,数量积可以表示力、速度、功等矢量之间的相互作用效果向量的向量积定义两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的向量积定义为$mathbf{a}times mathbf{b}$,其模长为$|mathbf{a}||mathbf{b}|sin theta$,其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角几何意义向量积表示两个向量在方向上的垂直程度,即两个向量之间的夹角的正弦值物理意义在物理中,向量积可以表示力矩、旋转等矢量之间的相互作用效果向量的混合积几何意义混合积表示三个向量在空间中的相定义对位置关系,即三个向量之间的夹角余弦值三个向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$和$mathbf{c}$的混合积定义为$mathbf{a}cdotmathbf{b}times mathbf{c}$物理意义在物理中,混合积可以表示力矩、旋转等矢量之间的相互作用效果01向量的坐标表示与运算向量的坐标表示总结词平面向量可以由有序对表示,即坐标表示详细描述在平面直角坐标系中,任意向量$vec{a}$可以表示为$vec{a}=x,y$,其中$x$和$y$分别表示向量的横坐标和纵坐标总结词向量的坐标表示具有唯一性详细描述对于任意向量$vec{a}$,其坐标表示$x,y$是唯一的,即不会因坐标轴的旋转或平移而改变向量的坐标运算总结词详细描述总结词详细描述向量的加法运算可以通过对向量的加法、数乘和向量的应坐标相加实现,数乘运算向量的点积可以通过对应坐向量的点积和叉积可以通过模长都可以通过坐标运算进可以通过对应坐标相乘实现,标相乘再求和实现,叉积可坐标运算进行行向量的模长可以通过以通过行列式计算法则实现$sqrt{x^2+y^2}$计算向量的模和向量的夹角总结词详细描述总结词详细描述向量的模可以通过坐标运算求向量的模长可以通过向量的夹角可以通过点积和模两个向量$vec{a}=x_1,得$sqrt{x^2+y^2}$计算,表长计算得出y_1$和$vec{b}=x_2,y_2$示向量的大小或长度的夹角$theta$可以通过$costheta=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}$计算得出,其中$vec{a}cdot vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$是向量的点积01向量的应用向量在几何中的应用平行与垂直角度与长度旋转与变换向量可以表示几何中的平行和垂向量可以表示几何中的角度和长向量可以表示几何中的旋转和变直关系,通过向量的点积和叉积度,通过向量的模长和夹角可以换,通过向量的线性组合和矩阵可以判断两向量的关系计算角度和长度变换可以实现几何图形的旋转和平移向量在物理中的应用力的合成与分解向量可以表示物理中的力,通过向量的加法、减法和数乘可以合成或分解力速度与加速度向量可以表示物理中的速度和加速度,通过向量的模长和夹角可以计算速度和加速度电磁场向量可以表示物理中的电磁场,通过向量的线性组合和点积可以计算电场和磁场向量在实际问题中的应用航天工程向量在航天工程中用于描述火箭发射、卫星轨道和飞行姿态等交通运输向量在交通运输中用于描述车辆运动、航线规划和交通流量等生物医学向量在生物医学中用于描述细胞运动、药物作用和基因表达等01复习题与答案解析复习题判断下列说法是否正确向量$vec{a}$与$vec{b}$的模相等,即$|vec{a}|=|vec{b}|$计算$vec{a}+vec{b}=vec{0}$是否成立?复习题向量的数量积与点积已知向量$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为$theta$,求$vec{a}cdotvec{b}$的值判断若$vec{a}cdot vec{b}=0$,则$vec{a}$与$vec{b}$是否垂直?复习题计算已知向量$v ec{a}$的模为$|vec{a}|=3$,求向量$vec{a}$与单位向量$hat{e}$的数量积判断若$|vec{a}+vec{b}||vec{a}|$,则$vec{a}$与$vec{b}$是否共线?答案解析向量加法与数乘说法不正确,因为只有当向量$vec{a}$与$vec{b}$方向相同时,它们的模才相等若$vec{a}+vec{b}=vec{0}$,则$vec{a}$与$vec{b}$互为相反向量答案解析向量的数量积与点积$vec{a}cdot vec{b}=|vec{a}|times|vec{b}|times costheta$是的,若$vec{a}cdot vec{b}=0$,则表示两向量垂直答案解析向量的模与向量之间的关系$vec{a}cdot hat{e}=|vec{a}|timescos0^circ=|vec{a}|=3$不一定,因为$|vec{a}+vec{b}||vec{a}|$只能说明$vec{b}$的模大于零,但不能确定$vec{a}$与$vec{b}$是否共线感谢观看THANKSTHE FIRSTLESSON OFTHE SCHOOLYEAR。