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《可测集及其质》ppt课件•可测集的定义与性质•可测集的应用场景目录•可测集的运算规则Contents•可测集与可积函数的关系•可测集的进一步研究01可测集的定义与性质可测集的数学定义010203定义等价关系划分设X是一个集合,如果存在一个等价关系是一种特殊的二元关系,划分是将一个集合划分为若干个等价关系~,使得X/~是一个划它满足自反性、对称性和传递性不相交的子集,这些子集的并集分,则称X是一个可测集等于全集可测集的性质0102可数可测性不可数可测性如果一个集合是可测的,那么它的如果一个集合是不可数的,那么它每个子集也是可测的一定是不可测的零测度性完备性如果一个集合的测度为0,那么它一如果一个集合是可测的,那么它的定是可测的所有子集都是可测的0304可测集的构造方法构造方法一构造方法三通过等价关系构造可测集通过单调性构造可测集构造方法二构造方法四通过划分构造可测集通过零测度构造可测集02可测集的应用场景概率论与数理统计中的可测集概率论可测集是概率论中描述随机事件的基本概念,通过可测集可以定义概率测度,进而研究概率分布和随机过程数理统计在数理统计中,可测集用于描述样本空间,是统计分析的基础通过可测集可以对样本数据进行分类和统计分析实分析中的可测集实分析实分析中,可测集是描述函数行为的重要工具,特别是在研究测度、积分等概念时,可测集起到关键作用微分学实分析中的可测集可以用于定义函数的可微性,进而研究函数的连续性和可导性泛函分析中的可测集泛函分析在泛函分析中,可测集是描述算子行为的重要概念,特别是在研究算子的谱理论、算子半群等方向时,可测集起到关键作用函数空间在函数空间的研究中,可测集可以用于描述函数的性质和行为,例如研究函数空间的拓扑结构和性质03可测集的运算规则可测集的交、并、差运算可测集的并运算设$E_1,E_2$为可测集,则$E_1cup E_2$也是可测可测集的交运算集设$E_1,E_2$为可测集,则$E_1cap E_2$也是可测集可测集的差运算设$E_1,E_2$为可测集,则$E_1-E_2={x|x in E_1,x notinE_2}$也是可测集可测集的对称差运算对称差的定义设$E_1,E_2$为可测集,则$E_1bigtriangleup E_2=E_1-E_2cup E_2-E_1$也是可测集对称差运算的性质对称差运算具有交换律和结合律,即$E_1bigtriangleup E_2=E_2bigtriangleup E_1$且$E_1bigtriangleup E_2bigtriangleup E_3=E_1bigtriangleup E_2bigtriangleup E_3$可测集的极限运算可测集的闭包运算可测集的内部运算可测集的边界运算设$E$为可测集,则$bar{E}={x设$E$为可测集,则$text{int}E设$E$为可测集,则$text{bd}E|x inEt ex t{或}x in={x|x inE text{且}x in=bar{E}-text{int}E$也是可测complement_{Omega}E}$也是c om pl em en t_{O me ga}集可测集complement_{Omega}E}$也是可测集04可测集与可积函数的关系可积函数的定义与性质定义可积函数是指在一个区间上可以求积分的函数性质可积函数具有连续性、有界性、可加性等基本性质可积函数与可测集的关系可积函数定义在可测集上,即函数的定义域是可测的可测集是可积函数存在积分的必要条件,但不是充分条件可积函数在可测集上的积分定义可积函数在可测集上的积分是该函数在可测集上的所有值之和,乘以该集合的测度性质可积函数在可测集上的积分具有线性性质、可加性、绝对可积性等性质应用积分在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用,如计算面积、体积、平均值等05可测集的进一步研究可测集的完备化完备化概念完备化是将一个数学结构扩展到一个更大的数学结构的过程,使得新结构具有更好的性质在可测集的完备化中,目的是找到一个包含原可测集的完备度量空间,使得原可测集在该度量空间中仍然是可测的完备化的方法常用的完备化方法包括超滤子收敛法、概率收敛法和弱收敛法等这些方法可以帮助我们找到一个完备度量空间,使得原可测集在该空间中是可测的完备化的应用可测集的完备化在概率论、统计学和实分析等领域有广泛的应用例如,在概率论中,可测集的完备化可以帮助我们更好地理解随机过程和随机测度的性质可测集的推广推广的概念推广的方法推广的应用可测集的推广是将原有的可测集常用的推广方法包括直接推广、可测集的推广在数学、物理和工概念进行扩展或推广,以适应更对偶推广和伴随推广等这些方程等领域有广泛的应用例如,广泛的应用场景或解决更复杂的法可以帮助我们将原有的可测集在物理学中,可测集的推广可以问题概念推广到更广泛的领域或解决帮助我们更好地描述微观粒子的更复杂的问题状态和行为可测集与其他数学概念的关系可测集与集合论的关系01可测集是集合论的一个子领域,主要研究可测空间和可测映射的性质和分类可测集的概念和性质在集合论中有着广泛的应用可测集与概率论的关系02可测集是概率论的基础概念之一,用于描述随机事件和随机变量的性质和分类可测集的完备化和推广对于概率论的发展和应用有着重要的意义可测集与实分析的关系03实分析是研究实数和实数函数的数学分支,而可测集的概念和性质在实分析中有着广泛的应用例如,在实分析中,可测集的概念被用于描述函数的积分和微分等性质THANKS。