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文本内容:
向量与矩阵•向量基础目•矩阵基础录•向量与矩阵的关系•向量与矩阵的运算规则•向量与矩阵的应用CONTENTS01向量基础CHAPTER向量的定义与表示总结词向量的定义是指具有大小和方向的量,通常用有向线段表示在数学中,向量可以用有序数对、坐标或矩阵等形式表示详细描述向量是具有大小和方向的量,通常用有向线段表示在二维空间中,向量可以用有序数对表示,而在三维空间中,向量可以用三维有序数对表示此外,向量还可以用矩阵形式表示,其中矩阵的行或列对应于向量的坐标向量的模总结词向量的模是指向量的大小或长度,用于衡量向量的大小详细描述向量的模可以通过欧几里得范数计算,对于二维向量,模为$sqrt{x^2+y^2}$;对于三维向量,模为$sqrt{x^2+y^2+z^2}$向量的模具有一些重要的性质,如非负性、齐次性和三角不等式等向量的加法与数乘总结词向量的加法是指将两个向量首尾相接,而数乘则是将一个标量与一个向量相乘得到一个新的向量详细描述向量的加法满足交换律和结合律,即$a+b+c=a+b+c$,$a+b=b+a$数乘也满足交换律和结合律,即$km+n=km+kn$,$ka+b=ka+kb$数乘还满足分配律,即$ka+b=ka+kb$02矩阵基础CHAPTER矩阵的定义与表示总结词矩阵是由若干行和若干列组成的二维数组,通常用大括号{}或方括号[]表示详细描述矩阵是线性代数中的基本概念,由行和列组成,每一行表示一个向量,每一列也表示一个向量矩阵的元素按照行优先或列优先的顺序排列例如,一个2x3的矩阵可以表示为矩阵的定义与表示01```02a11a12a1303a21a22a2304```矩阵的加法与数乘总结词矩阵的加法是将两个矩阵的对应元素相加,数乘则是将矩阵中的每个元素乘以一个常数详细描述矩阵的加法满足交换律和结合律,即A+B=B+A和A+B+C=A+B+C数乘满足分配律,即kA+B=kA+kB例如,对于矩阵A和B矩阵的加法与数乘```a11a12a13a21a22a23矩阵的加法与数乘```和```矩阵的加法与数乘b11b12b13b21b22b23矩阵的加法与数乘```它们的加法结果为矩阵的加法与数乘a21+b21a22+b22a23+b2303a11+b11a12+b12a13+b1302```01矩阵的加法与数乘01```02数乘结果为03```csharp矩阵的加法与数乘01ka11ka12ka1302ka21ka22ka2303```特殊类型的矩阵总结词特殊类型的矩阵包括零矩阵、单位矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等详细描述零矩阵是所有元素都为0的矩阵,单位矩阵是主对角线上的元素为1,其他元素为0的方阵对称矩阵是满足A=A^T的矩阵,反对称矩阵是满足A=-A^T的矩阵03向量与矩阵的关系CHAPTER向量与矩阵的乘法矩阵乘法的前提条件矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数矩阵乘法的步骤将矩阵A的列向量与矩阵B的行向量对应相乘,得到的结果构成一个新的矩阵C,C的行数等于矩阵A的行数,C的列数等于矩阵B的列数矩阵乘法的结果矩阵C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行向量与矩阵B的第j列向量的点积向量与矩阵的除法除法的性质一个向量v是矩阵A的一个左逆当且仅当v是矩阵A的转置矩阵A^T的一个右逆除法的定义对于一个向量v和矩阵A,除法的应用如果存在一个向量u,使得u=v/A,则称向量在解决线性方程组时,v是矩阵A的一个左逆如果系数矩阵A是可逆同理,对于一个向量v的,则可以通过除法求和矩阵A,如果存在一解方程组个向量u,使得u=A/v,则称向量v是矩阵A的一个右逆向量与矩阵的转置转置的定义转置的应用对于一个矩阵A,其转置矩阵在解决线性方程组时,如果记为A^T,是将矩阵A的行和系数矩阵A是可逆的,则可以列互换得到的通过转置求解方程组的解转置的性质对于任意的向量x和y,如果x与A的第i行向量平行且y与A的第j列向量平行,则x与y的内积等于A的第i行第j列元素的绝对值如果x与y不平行,则x与y的内积等于004向量与矩阵的运算规则CHAPTER向量的运算规则向量的加法向量的数乘向量加法遵循平行四边形法则,即以两个向量为邻边作平数乘是指用一个实数去乘一个向量,结果仍是一个向量行四边形,对角线上的向量即为这两个向量的和数乘不改变向量的模,但会改变向量的方向或反向向量的点乘向量的叉乘点乘的结果是一个实数,其大小等于两个向量的模之积与叉乘的结果是一个向量,其方向垂直于作为运算两向量的它们夹角的余弦值之积,其方向与两向量夹角有关平面,大小等于两向量模之积与它们夹角的正弦值之积矩阵的运算规则矩阵的加法矩阵加法是指将两个矩阵的对应元素相加,得到一个新的矩阵矩阵的数乘数乘矩阵是指用一个实数去乘一个矩阵的每一个元素,得到一个新的矩阵矩阵的乘法矩阵乘法是指将一个矩阵的行向量与另一个矩阵的列向量进行对应相乘,然后按照一定的顺序组合起来,得到一个新的矩阵矩阵的转置转置是指将一个矩阵的行列互换,得到一个新的矩阵向量与矩阵的混合运算向量与矩阵的加法向量与矩阵的数乘一个向量和一个矩阵不能直接进行加一个向量和一个矩阵可以同时进行数法运算,因为它们的维度不同乘运算,即用一个实数分别乘以向量和矩阵中的每一个元素向量与矩阵的点乘向量与矩阵的叉乘两个不同维度的向量或矩阵不能进行一个向量和一个矩阵不能进行叉乘运点乘运算,因为点乘要求其中一个为算,因为叉乘要求其中一个为列向量列向量且另一个为行向量且另一个为行向量05向量与矩阵的应用CHAPTER向量在几何中的应用向量表示方向和大小01在几何中,向量被用来表示有方向的线段,具有长度和方向两个属性向量运算02通过向量的加法、数乘、向量的模等运算,可以描述物体的位置、速度和加速度等物理量向量在解析几何中的应用03向量可以用来解决直线、平面、旋转体等几何问题,如向量的点积、叉积等运算可以用来解决几何问题矩阵在代数中的应用解线性方程组矩阵可以用来求解线性方程组,通过高斯消元法、线性变换LU分解等算法,可以将线性方程组转化为矩阵的形式进行求解矩阵可以用来表示线性变换,如平移、旋转、缩放等矩阵的逆和行列式矩阵的逆和行列式是矩阵的重要性质,可以用来解决代数问题,如求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等向量与矩阵在计算机科学中的应用010203图像处理计算机图形学机器学习向量和矩阵在图像处理中向量和矩阵是计算机图形向量和矩阵在机器学习中广泛应用,如图像的缩放、学的基础,如三维坐标变也广泛应用,如向量化、旋转、滤波等操作可以用换、投影等操作需要用到矩阵分解等算法可以用来向量和矩阵运算实现向量和矩阵解决分类、聚类等问题THANKS感谢您的观看。