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南航理学院《复变函数与积分变换》课件目录CONTENTS•引言•复数与复变函数•积分变换•解析函数与积分公式•极值定理与留数定理•傅里叶变换的性质与应用•拉普拉斯变换的性质与应用01引言课程简介复变函数与积分变换的定义复变函数与积分变换是研究复数域上的函数及其变换的重要数学分支,它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用课程背景随着科技的发展,复变函数与积分变换在信号处理、图像处理、控制系统等领域的应用越来越广泛,因此掌握这门课程对于理工科学生来说至关重要与其他课程的关系复变函数与积分变换是许多后续课程的基础,如实变函数、泛函分析、信号处理等课程目标能力目标培养学生运用复变函数与积分变换解决实际问题的知识目标能力,提高他们的数学素养和逻辑思维能力通过本课程的学习,学生应掌握复变函数与积分变换的基本概念、性质和定理,理解其情感、态度和价值观目标在工程和科学领域的应用激发学生对数学的兴趣和热爱,培养他们严谨、求实的科学态度和勇于探索的精神02复数与复变函数复数及其性质复数的定义复数是实数域的扩展,形式为$z=a+bi$,其中$a$和$b$是实数,$i$是虚数单位,满足$i^2=-1$复数的几何意义复数可以用平面上的点来表示,实部对应于横坐标,虚部对应于纵坐标复数的性质复数具有加法、减法、乘法和除法等运算性质,满足交换律、结合律和分配律复变函数的概念定义域与值域复变函数是复数到复数的映射,即给定一个复数$z$,通过某个规则得到另一个复数$fz$定义域是函数的输入范围,值域是函数的输出范围单值函数与多值函数如果对于定义域内的每一个$z$,都存在唯一的$fz$与之对应,则称函数为单值函数;如果对于一个$z$,存在多个$fz$与之对应,则称函数为多值函数复变函数的极限与连续性010203极限的定义连续性的定义可微性与可积性对于复变函数$fz$,如果当$z$趋近如果函数在定义域内的每一点都连续,如果函数在定义域内的每一点都可微,于某点$z_0$时,$fz$趋近于一个确则称函数在定义域内连续连续的充则称函数在定义域内可微;如果函数定的数值,则称函数在点$z_0$处有要条件是函数的极限值等于函数值在闭区间上可积,则称函数在闭区间极限上可积可微性与可积性之间存在密切关系03积分变换傅里叶变换傅里叶变换的定义傅里叶变换是一种将时域函数转换为频域函数的数学工具,通过将时间或空间的函数表示为一系列正弦和余弦函数的和,可以更好地分析信号或函数的频率成分傅里叶变换的性质傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、对称性等性质,这些性质使得傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理中用于频谱分析、滤波、调制解调等;在图像处理中用于图像压缩、图像增强等;在通信中用于频分复用、扩频通信等拉普拉斯变换拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为复平面上的函数的方法,通过将时间函数表示为复平面上的函数,可以更好地分析函数的极点和稳定性拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有线性性、时移性、尺度变换性等性质,这些性质使得拉普拉斯变换在控制系统分析、电路分析等领域得到广泛应用拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换在控制系统分析中用于描述系统的传递函数、极点和零点等;在电路分析中用于描述电路的响应和传递函数等Z变换Z变换的定义Z变换的性质Z变换的应用Z变换是一种将离散时间函数转换为Z变换具有线性性、时移性、频移性复平面上的函数的方法,通过将离散Z变换在数字信号处理中用于离散傅等性质,这些性质使得Z变换在数字时间序列表示为复平面上的函数,可里叶变换、滤波器设计等;在数字图信号处理、数字图像处理等领域得到以更好地分析离散时间系统的动态行像处理中用于图像压缩、图像增强等广泛应用为04解析函数与积分公式解析函数010203解析函数的定义解析函数的性质解析函数的导数如果一个复函数在某区域内的全在解析的区域内,解析函数具有解析函数的导数可以通过求导法纯函数,则称该函数为解析函数连续的偏导数,且满足柯西-黎则和链式法则进行计算曼条件积分公式与柯西定理柯西定理柯西积分公式积分公式的定义对于一个封闭的曲线,其上的如果一个复函数在某区域内的如果一个复函数在某区域内的函数值可以通过积分公式计算解析函数,则该函数在该区域解析函数,则该函数在该区域内的积分可以通过其内部的积内的任意点上的值可以通过柯分计算西积分公式计算幂级数展开与泰勒级数幂级数展开一个复函数可以通过幂级数展开表示,即可以将该函数的值表示为一系列幂函数的和泰勒级数一个复函数在某点处的幂级数展开称为该函数的泰勒级数泰勒定理如果一个复函数在某点处的泰勒级数是收敛的,则该级数的和等于该点的函数值05极值定理与留数定理极值定理极值定理总结极值定理的应用极值定理的证明极值定理是复变函数中的基本定极值定理在解决实际问题中有着极值定理的证明涉及到函数的导理之一,它描述了函数在复平面广泛的应用,例如在物理学、工数和可微性等概念,通过分析函上的极大值和极小值点的性质和程学等领域中,可以通过极值定数在极值点附近的性质,可以证存在条件理找到系统状态的最优解或临界明极值定理的正确性点留数定理与计算方法留数定理的意义留数定理的计算方法留数定理的应用留数定理的计算涉及到复平面上留数定理在解决实际问题中有着留数定理是复变函数中的重要定零点和奇点的判断,以及留数的广泛的应用,例如在信号处理、理之一,它描述了函数在闭曲线计算方法通过分析函数在奇点电磁学等领域中,可以通过留数上的积分与其留数的乘积等于该附近的性质,可以计算出留数的定理计算出系统的响应或传递函函数在曲线内部零点的个数值数应用留数定理计算实积分实积分的计算方法实积分可以通过牛顿-莱布尼茨公式计算得出,但当被积函数为复函数时,需要采用留数定理进行计算留数定理与实积分的关系实积分可以转化为复积分,通过留数定理可以将复积分转化为零点和奇点的贡献之和,从而简化了实积分的计算过程应用实例通过具体实例演示如何应用留数定理计算实积分,例如计算二维平面上的曲线积分等06傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换的性质线性性质频移性质若$ft$和$gt$是可傅里叶变换的,则$a ft+b若$ft$可傅里叶变换,则$ft e^{i omega}$可傅里gt$也可傅里叶变换,且其变换为$a Fw+b Gw$叶变换,且其变换为$Fw-omega$共轭性质周期性质若$ft$可傅里叶变换,则$f^{*}t$可傅里叶变换,若$ft$可傅里叶变换,则$ft+T$可傅里叶变换,且其变换为$F^{*}w$且其变换为$Fw e^{-i wT}$傅里叶变换的应用在信号处理中的应用在通信系统中的应用通过傅里叶变换可以将信号分在通信系统中,信号常常会受解成不同频率的成分,便于分到噪声干扰,傅里叶变换可以析信号的特性用于信号的调制与解调,提高通信质量在图像处理中的应用在控制系统中的应用傅里叶变换在图像处理中主要在控制系统中,傅里叶变换可用于频域处理,可以对图像进以用于系统的稳定性分析、频行滤波、去噪等操作域响应分析等快速傅里叶变换算法FFT介绍FFT是一种高效的计算离散傅里叶变换FFT算法可以分为按时间抽取FFT算法的应用非常广泛,包括信号处(DFT)及其逆变换的算法相对于直(Decimation-In-Time,DIT)和按频理、图像处理、通信系统、控制系统等接计算DFT的方法,FFT将计算量减少率抽取(Decimation-In-Frequency,领域通过使用FFT算法,可以快速了几个数量级,使得对信号的频谱分析DIF)两种方法其中,DIT方法适合地计算出信号的频谱,从而更加高效地和处理更加快速和便捷于长度为2的幂次方的信号序列,而进行信号分析和处理DIF方法则没有这个限制07拉普拉斯变换的性质与应用拉普拉斯变换的性质0102030405线性性质时移性质频移性质微分性质积分性质如果$ft$和$gt$是可如果$ft$是可积函数,如果$ft$是可积函数,如果$ft$是可积函数,如果$ft$是可积函数,积函数,那么对于任意实那么对于任意实数$a$,那么对于任意实数$b$,那么对于任意非负整数那么对于任意非负整数数$k$和$m$,有$k ft有$ft-a$的拉普拉斯变有$ft e^{b t}$的拉普拉$n$,有$f^{n}t$的拉$n$,有$int_0^t ftau+m gt$的拉普拉斯变换换等于$mathcal{L}[ft]斯变换等于$frac{1}{s-b}普拉斯变换等于$s^n dtau$的拉普拉斯变换等等于$k mathcal{L}[ft]+e^{-a s}$mathcal{L}[ft]$mathcal{L}[ft]-s^{n-1}于$frac{1}{s}m mathcal{L}[gt]$f0--s^{n-2}f0--left[frac{1}{s}right]^{n-cdots-f^{n-1}0-$1}mathcal{L}[ft]$拉普拉斯变换的应用求解初值问题求解积分方程给定一个微分方程的初值问题,可以通过拉普拉给定一个积分方程,可以通过拉普拉斯变换将其斯变换将其转化为代数方程,从而求解转化为微分方程,从而求解A BC D求解边值问题求解偏微分方程给定一个微分方程的边值问题,可以通过拉普拉在偏微分方程中引入拉普拉斯变换,可以简化计斯变换将其转化为代数方程组,从而求解算过程逆拉普拉斯变换的求解方法介绍部分分式法将$frac{1}{s}left[frac{1}{s}right]^{n-1}mathcal{L}[ft]$展开为部分分式,然后利用留数定理求解长除法将$frac{1}{s}left[frac{1}{s}right]^{n-1}mathcal{L}[ft]$除以$s^n$,然后利用留数定理求解间接法先求出$frac{d^n}{ds^n}left[frac{1}{s}right]^{n-1}mathcal{L}[ft]$的表达式,然后利用留数定理求解表格法根据已知的拉普拉斯变换表,查找相应的逆变换表达式感谢您的观看THANKS。