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代数学基础课件REPORTING目录•群的基本概念•子群的基本概念•群与子群的应用•群和子群的运算规则•群和子群的同态与同构•群和子群的表示方法PART01群的基本概念REPORTING定义与性质定义群是由一个集合和一个在其上的二元运算组成,满足结合律的代数结构性质群具有单位元和逆元,满足结合律、交换律和幺半群的定义群的基本性质01020304封闭性结合律单位元存在逆元存在群中的任意两个元素通过二元群中的任意三个元素按照任意存在一个元素e,使得对于群对于群中的任意元素a,都存运算得到的仍然是群中的元素顺序进行二元运算,结果都相中的任意元素a,都有在一个元素b,使得等e*a=a*e=a a*b=b*a=e,其中e为单位元群的例子010203整数加法群矩阵乘法群置换群整数集合和加法运算,单n阶矩阵集合和乘法运算,n个元素的集合和所有可位元为0,逆元为-a单位元为单位矩阵,逆元能的置换,单位元为恒等为矩阵的逆置换,逆元为元素的逆置置换PART02子群的基本概念REPORTING定义与性质定义子群是群的一个非空子集,满足子集中的任意两个元素的乘积仍在子集中性质子群必须是非空集,且其乘法封闭子群的基本性质子群的单位元子群中存在一个单位元,使得任何子群元素与单位元的乘积仍在该子群中子群的逆元对于子群中的每个元素,都存在一个逆元,使得它们的乘积为单位元子群的例子子群例子1在整数集合中,所有偶数的集合构成一个子群,因为偶数集合中的任意两个数的乘积仍然是偶数子群例子2在矩阵集合中,所有可逆矩阵的集合构成一个子群,因为可逆矩阵的乘积仍然可逆PART03群与子群的应用REPORTING在密码学中的应用对称加密群论中的置换群在密码学中有着广泛的应用,例如在数据加密标准AES中,置换群被用于实现数据的加密和解密公钥密码体系公钥密码体系是现代密码学的重要分支,其基础理论就是基于大数因数分解和离散对数问题,这些都是群论中的重要概念在物理中的应用晶体结构晶体结构是物理学中一个重要的概念,而晶体结构的描述和分类正是基于群论的通过群论,我们可以对晶体结构进行系统的分类和描述,从而更好地理解和研究其物理性质量子力学量子力学中的波函数具有对称性,这些对称性可以通过群论进行描述和分类群论在量子力学中的这种应用,有助于我们更好地理解和描述物质的微观结构和性质在计算机科学中的应用编码理论编码理论是计算机科学中一个重要的分支,其核心问题就是寻找具有优良性质的纠错码而群论在编码理论中有着广泛的应用,例如线性码和循环码等都是基于群论的概念进行构造的计算机图形学计算机图形学是计算机科学中一个重要的分支,群论在计算机图形学中也有着广泛的应用例如,在几何变换和对称性等问题的研究中,群论提供了重要的数学工具和理论支持PART04群和子群的运算规则REPORTING群的运算规则结合律单位元逆元群中的元素按照给定的运群中存在一个单位元e,使群中任意元素a都存在一个算符进行组合时,满足结得对于群中任意元素a,都逆元a,使得aa=e和合律,即abc=abc有ea=a和ae=a aa=e子群的运算规则子群必须是封闭的子群必须具有逆元子群中的元素按照群中的运算规则进子群中任意元素a都存在一个逆元a,行组合时,结果仍属于子群使得aa=e和aa=e子群必须具有单位元子群中存在一个单位元e,使得对于子群中任意元素a,都有ea=a和ae=a运算规则的例子整数加法群整数按照加法运算规则构成一个群,其中0是单位元,每个整数都有一个负数作为其逆元矩阵乘法群n阶矩阵按照矩阵乘法构成一个群,其中单位元是单位矩阵,每个矩阵a都有一个逆矩阵a,使得aa=e和aa=ePART05群和子群的同态与同构REPORTING同态与同构的定义同态如果存在一个从群G到群H的映射,使得对于G中的任意元素a和b,都有fa*b=fa*fb,则称f为G到H的同态映射,G和H为同态群同构如果存在一个从群G到群H的一一映射,使得对于G中的任意元素a,都有fa*fb=fa*b,并且fa^n=fa^n,则称f为G到H的同构映射,G和H为同构群同态与同构的性质同态性质同构性质同态映射保持了群中的运算关系,即如同构映射是一一对应的,且保持了群中的果f是G到H的同态映射,那么对于G中的运算和指数运算,即如果f是G到H的同构任意元素a和b,有fa*b=fa*fb VS映射,那么对于G中的任意元素a和b,有fa*b=fa*fb,并且fa^n=fa^n同态与同构的例子同态例子同构例子考虑整数加法群Z和有理数加法群Q,定义f:考虑整数加法群Z和偶数加法群E,定义f:ZZ-Q,fn=n/2可以验证f是Z到Q的-E,fn=2n可以验证f是Z到E的一一同态映射,因为对于任意整数n和m,有映射,并且满足同构的条件,因为对于任意fn+m=n+m/2=n/2+m/2=fn+整数n和m,有fn+m=2n+m=2n+fm2m=fn+fm,并且fn^2=2n^2=2n^2=fn^2PART06群和子群的表示方法REPORTING矩阵表示法总结词详细描述矩阵表示法是一种常用的表示群和子群的方矩阵表示法通过将群中的元素表示为矩阵,法,通过矩阵的运算规则来描述群的结构和利用矩阵的加法、乘法和逆运算等规则来描性质述群中的运算这种方法直观易懂,适用于有限群和离散群向量表示法要点一要点二总结词详细描述向量表示法是将群中的元素表示为向量,利用向量的加法、向量表示法适用于连续群或无限群,通过将群中的元素表数乘和向量的模等性质来描述群的结构和性质示为向量,可以更好地描述群的连续性和无穷性这种方法在物理学、工程学等领域有广泛应用符号表示法总结词详细描述符号表示法是一种简洁的表示群和子群的方法,通过符号表示法利用简洁的符号来代替复杂的数学表达式,符号的组合和运算规则来描述群的结构和性质使得描述更加简洁明了这种方法适用于描述抽象的代数结构和性质,尤其适用于理论研究和数学教育THANKS感谢观看REPORTING。