人大微积分课件7-2向量及其线性运算

人大微积分课件7-2向量及其线性运算•向量及其表示•向量的线性运算•向量的数量积CATALOGUE•向量的向量积目录•向量的混合积01向量及其表示向量的定义总结词向量是一个具有大小和方向的量，通常用有向线段表示详细描述向量在数学和物理中广泛使用，它不仅表示一个具体的量，如力或速度，还表示一个方向和大小在平面或空间中，向量可以用有向线段表示，起点为零点，终点为所表示的点向量的模总结词向量的模是表示向量大小的量，用双箭头表示详细描述向量的模定义为向量起点到终点的距离，记作∣∣→∣∣向量的模具有以下性质∣∣→∣∣=√x^2+y^2，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量向量的表示方法总结词向量可以用多种方式表示，包括文字、符号、坐标等详细描述向量的表示方法有多种，可以用文字描述向量的起点、终点和方向，也可以用符号表示，如向量AB或→A在坐标系中，向量可以用坐标表示，如向量1,2表示一个从原点到点1,2的有向线段02向量的线性运算向量的加法010203定义性质几何意义向量加法是将两个向量首向量加法满足交换律和结向量加法在几何上表示两尾相接，形成一个新的向合律，即a+b=b+a和个向量的起点和终点的连量a+b+c=a+b+c线向量的数乘定义性质几何意义数乘是指一个实数与一个数乘满足结合律和分配律，数乘在几何上表示将向量向量的乘积，结果仍为一即λμa=μλa和按比例放大或缩小个向量λa+b=λa+λb向量的减法定义向量减法是通过加上一个向量的相反向量来实现的性质向量减法满足交换律，即a-b=-b-a几何意义向量减法在几何上表示从一个向量的终点指向另一个向量的起点所形成的向量03向量的数量积数量积的定义定义设$mathbf{a}=a_1mathbf{i}+a_2mathbf{j}+a_3mathbf{k}$，$mathbf{b}=b_1mathbf{i}+b_2mathbf{j}+b_3mathbf{k}$，则$mathbf{a}cdot mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$解释数量积是两个向量各对应坐标分量乘积之和数量积的几何意义定义向量$mathbf{a}$与$mathbf{b}$的模分别为$|mathbf{a}|$和$|mathbf{b}|$，则$mathbf{a}cdot mathbf{b}=|mathbf{a}|times|mathbf{b}|times costheta$，其中$theta$为两向量的夹角解释数量积表示两向量之间的夹角余弦值乘以两向量的模长乘积数量积的运算性质交换律分配律结合律$mathbf{a}cdot mathbf{b}=$lambdamathbf{a}cdot$mathbf{a}+mathbf{b}mathbf{b}cdot mathbf{a}$mathbf{b}=cdot mathbf{c}=mathbf{a}lambdamathbf{a}cdot cdot mathbf{c}+mathbf{b}mathbf{b}=cdot mathbf{c}$lambdamathbf{a}cdotlambdamathbf{b}$04向量的向量积向量积的定义向量积是由两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$生成的第三个向量，记作$mathbf{A}times mathbf{B}$向量积的定义基于三个向量的坐标设$mathbf{A}=a_1mathbf{i}+a_2mathbf{j}+a_3mathbf{k}$，$mathbf{B}=b_1mathbf{i}+b_2mathbf{j}+b_3mathbf{k}$，则$mathbf{A}times mathbf{B}=a_2b_3-a_3b_2mathbf{i}+a_3b_1-a_1b_3mathbf{j}+a_1b_2-a_2b_1mathbf{k}$向量积的几何意义向量积的几何意义是描述两个向量的旋转关系具体来说，当一个向量绕另一个向量旋转时，其方向由向量积确定向量积的方向由右手定则确定伸开右手，让拇指与向量$mathbf{B}$平行，四指指向$mathbf{A}$的方向，则拇指指向就是$mathbf{A}times mathbf{B}$的方向向量积的运算性质向量积满足交换律$mathbf{A}times mathbf{B}=mathbf{B}1times mathbf{A}$向量积满足结合律$mathbf{A}+mathbf{C}times mathbf{B}=2mathbf{A}times mathbf{B}+mathbf{C}times mathbf{B}$向量积与标量乘法不满足分配律$lambda mathbf{A}times mathbf{B}=3lambda mathbf{A}times mathbf{B}$不恒成立05向量的混合积混合积的定义混合积定义对于三个向量$mathbf{a},mathbf{b},mathbf{c}$，其混合积定义为$mathbf{a}cdotmathbf{b}times mathbf{c}$，也可以表示为$mathbf{a}cdot mathbf{b}cdotmathbf{c}$或$mathbf{a}cdot mathbf{c}cdot mathbf{b}$混合积的代数性质混合积满足交换律和结合律，即$mathbf{a}cdot mathbf{b}times mathbf{c}=mathbf{a}cdot mathbf{c}cdot mathbf{b}=mathbf{a}cdot mathbf{b}cdotmathbf{c}$混合积的几何意义混合积的几何解释混合积表示三个向量构成的平行六面体的体积具体来说，如果$mathbf{a},mathbf{b},mathbf{c}$构成平行六面体的三条相邻棱，则混合积的值为该平行六面体的体积混合积为0的条件如果三个向量的混合积为0，则这三个向量共面混合积的运算性质混合积与点乘的性质点乘满足分配律，即$mathbf{a}cdot mathbf{b}+mathbf{c}=mathbf{a}cdot mathbf{b}+mathbf{a}cdot mathbf{c}$混合积与向量积的性质混合积与向量积之间存在关系，即$mathbf{a}cdot mathbf{b}timesmathbf{c}=mathbf{a}timesmathbf{b}cdotmathbf{c}$THANKS FORWATCHING感谢您的观看。