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人大微积分课件8-4多元复合函数求导法则目录•多元复合函数的导数•多元复合函数的偏导数•多元复合函数的求导法则•多元复合函数的高阶导数•多元复合函数的极值问题Part多元复合函数的导数01多元复合函数的定义多元复合函数是由多个一元函数或多元函数通过逐层复合而形成的函数复合函数的形式为$fux或fux,y,vx,y$,其中$u,v$是中间变量,$x,y$是自变量多元复合函数的导数多元复合函数的导数表示函数在各个自变量方向上的变化率对于复合函数$fu$,其导数为$fu$,表示$u$变化时$f$的变化率链式法则链式法则是多元复合函数求导的重要法则,其基1本思想是将复合函数的求导转化为对各个中间变量的求导链式法则的公式为$f circu=fu cdotu$,2其中$u$表示中间变量$u$对自变量的偏导数应用链式法则时,需要先确定中间变量和自变量3的关系,然后对中间变量求偏导数,最后将结果与原函数的导数相乘Part多元复合函数的偏导数02偏导数的定义偏导数对于多元函数,偏导数是函数在某一自变量上的导数偏导数表示在多元函数中,偏导数表示函数值随某一自变量变化的速度偏导数的几何意义在几何上,偏导数表示函数曲面在某一点处与某一坐标轴垂直的切线的斜率偏导数的计算方法链式法则链式法则用于计算复合函数的偏导数,即当一个复合函数由多个基本初等函数复合而成时,其偏导数可以通过链式法则逐一求出乘积法则乘积法则用于计算两个函数的乘积的偏导数,即当两个函数相乘时,其偏导数等于两个函数各自偏导数的乘积商式法则商式法则用于计算分式函数的偏导数,即当一个分式函数的分子和分母都是可导的,其偏导数可以通过商式法则求出偏导数的几何意义切线斜率01在几何上,偏导数表示函数曲面在某一点处与某一坐标轴垂直的切线的斜率曲面的变化趋势02通过偏导数的值,可以判断函数曲面在该点处沿某一坐标轴方向的变化趋势是增加还是减少极值判断03在多元函数中,当函数在某一点的偏导数等于零时,该点可能是函数的极值点通过分析偏导数的符号变化,可以判断该点是极大值点还是极小值点Part多元复合函数的求导法则03求导法则的推导链式法则对于由两个或多个函数通过乘积、商、幂等运算构成的复合函数,其导数可以通过链式法则进行求导链式法则是基于函数的复合性质,将复合函数的导数分解为各个组成部分的导数的乘积、商或幂等运算偏导数法则对于多元复合函数,其各个变量的偏导数可以通过偏导数法则进行求导偏导数法则是基于偏微分的性质,将复合函数的偏导数分解为各个组成部分的偏导数的乘积、商或幂等运算求导法则的应用解决实际问题数学分析通过求导法则,可以解决许多实际问题,在数学分析中,求导法则也是非常重要的例如最优化问题、经济问题、物理问题工具通过求导法则,我们可以研究函数等求导法则可以帮助我们找到函数的VS的性质,例如单调性、凹凸性、极值等,极值点或拐点,从而找到最优解或最优从而更好地理解函数的形态和变化规律策略求导法则的证明数学归纳法求导法则的证明通常采用数学归纳法通过数学归纳法,我们可以证明一个数学命题对于所有的自然数都成立在证明求导法则时,我们通常先证明命题对于基础情况成立,然后假设命题对于某个自然数成立,并由此推导出命题对于下一个自然数也成立反证法反证法也是常用的证明方法通过反证法,我们假设命题不成立,然后推导出矛盾,从而证明命题成立在证明求导法则时,我们通常假设命题不成立,然后推导出矛盾,从而证明命题成立Part多元复合函数的高阶导数04高阶导数的定义高阶导数对于一个可微的多元函数,如果对某个变量的导数再次求导,那么得到的导数称为高阶导数二阶导数对一阶导数再次求导得到的导数n阶导数对一阶导数连续求n-1次导数得到的导数高阶导数的计算方法链式法则乘积法则幂函数法则对于复合函数的导数,可以使用对于两个函数的乘积,可以使用对于幂函数的导数,可以使用幂链式法则进行计算链式法则是乘积法则计算其导数乘积法则函数法则进行计算幂函数法则将复合函数的导数分解为各个组是将两个函数的导数相加后再乘是根据幂函数的指数来确定其导成部分的导数的乘积以各自的原函数数的形式高阶导数的应用判断函数的极值点通过求函数的二阶导数,可以判断函数的极值点如果函数的二阶导数在某点处为零,并且在此点的一阶导数不为零,则该点为极值点判断函数的拐点通过求函数的二阶导数,可以判断函数的拐点如果函数的二阶导数在某点处为零,并且在此点的三阶导数不为零,则该点为拐点求解高阶微分方程高阶导数的应用还包括求解高阶微分方程高阶微分方程是描述函数的高阶导数之间关系的方程,通过求解高阶微分方程可以找到函数的行为和性质Part多元复合函数的极值问题05极值的定义极值极值点极值判定定理如果函数在某点的导数等在一定区域内,一元函数使得函数取得极值的点于0,则该点可能是极值取得局部最大或最小的值点极值的求法判断导数的符号变化通过判断函数在极值点附近的导数符号变化,可以确定函数在该点的单调性,从而确定是否为极值点寻找一阶导数的零点一阶导数的零点可能是极值点,需要进一步判断二阶导数的符号二阶导数测试二阶导数在极值点的符号可以判断该极值是极大值还是极小值极值的几何意义STEP03极值反映了函数在一定范几何意义围内的最大值和最小值,是函数值的重要特征STEP02极值点是函数图像的拐点,函数图像表示函数在此点改变单调性STEP01切线斜率极值点处的切线斜率为0,即一阶导数为0THANKS感谢您的观看。