人大微积分课件8-8多元函数的极值与最值

人大微积分课件8-8多元函数的极值与最值•多元函数的极值•多元函数的最值•多元函数极值与最值的实际应用•习题与解答01多元函数的极值定义与性质定义设函数$fx,y$在点$x_{0},y_{0}$的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任意点$x,y$都有$fx,yleq fx_{0},y_{0}$（或$fx,y geqfx_{0},y_{0}$），则称函数$fx,y$在点$x_{0},y_{0}$处取得极大值（或极小值），点$x_{0},y_{0}$称为极大值点（或极小值点）性质极值是局部性的概念，即一个函数在某点的极值只与该点的附近区域有关，而与该点距离较远的区域无关判定条件必要条件如果函数$fx,y$在点$x_{0},y_{0}$处取得极值，则该点的偏导数$f_{x}x_{0},y_{0}$和$f_{y}x_{0},y_{0}$必须存在，并且满足$f_{x}x_{0},y_{0}=0$和$f_{y}x_{0},y_{0}=0$充分条件如果函数$fx,y$在点$x_{0},y_{0}$处的偏导数$f_{x}x_{0},y_{0}$和$f_{y}x_{0},y_{0}$存在，并且满足$f_{x}x_{0},y_{0}=0$和$f_{y}x_{0},y_{0}=0$，那么在该点处可能有极值，也可能没有极值因此，还需要进一步判断极值的第一充分条件•内容如果函数$fx,y$在点$x{0},y{0}$处的偏导数$f{x}x{0},y{0}$和$f{y}x{0},y{0}$存在，并且满足$f{x}x{0},y{0}=0$和$f{y}x{0},y{0}=0$，那么在该点处可能有极值，也可能没有极值如果存在一个或多个方向上函数值减小，则该点为极小值点；如果存在一个或多个方向上函数值增大，则该点为极大值点02多元函数的最值定义与性质定义多元函数在某点的函数值小于或等于它在该点的某个邻域内所有点的函数值，则称该点为多元函数的局部最小值点；反之，则为局部最大值点性质局部最小值和局部最大值统称为多元函数的极值，而它们的函数值则分别为极小值和极大值此外，极值具有局部性，即在一个点附近的函数值，只受该点附近区域的影响，而与远离该点的区域无关求解方法无限制条件通过求多元函数的偏导数，并令其为零，解得驻点然后，检查驻点处的二阶偏导数，根据其符号判断是否为极值点有限制条件通过拉格朗日乘数法，将多元函数的极值问题转化为求无限制条件的极值问题最值的几何意义最小值在多元函数的图像上，最小值对应的点为局部凹陷的最低点最大值在多元函数的图像上，最大值对应的点为局部凸起的最高点03多元函数极值与最值的实际应用在经济中的应用供需平衡在经济学中，多元函数极值可以用投资组合优化于解决供需平衡问题，例如通过调整价格和产量来达到市场均衡多元函数极值理论可以用于确定最佳投资组合，使得在给定风险水平下最大化预期收益，或在给定预期收益下最小化风险资源分配通过多元函数极值理论，可以优化资源分配，使得在满足一定约束条件下最大化总体效益在物理中的应用弹性力学流体力学电磁学在弹性力学中，多元函数极值可在流体力学中，多元函数极值可在电磁学中，多元函数极值可以以用于描述物体的形变和应力分以用于描述流体运动，例如通过用于描述电磁场的分布，例如通布，通过最小化势能来求解物体最小化动能和势能之和来求解流过最小化能量泛函来求解静电场的平衡状态体动力学问题和静磁场问题在其他领域的应用化学工程在化学工程中，多元函数极值可以用于优化化学反应过程，例如通过最小化反应势能来控制化学反应的方向和速率生物医学工程在生物医学工程中，多元函数极值可以用于描述生物体的结构和功能，例如通过最小化生物体的能量消耗来分析生物系统的稳定性和适应性环境科学在环境科学中，多元函数极值可以用于描述生态系统的平衡和稳定性，例如通过最小化生态系统总能量消耗来分析生态系统的可持续性04习题与解答习题计算函数求函数fx,y=x^2+y^2fx,y=x^2+y^2在点1,2在闭区间[-1,1]×[-1,1]上处的极值的最大值和最小值判断函数fx,y=xy在点求函数fx,y=x^2+y^21,-1处的极性在点0,0处的方向导数解答与解析01020304对于第一个问题，我们首先对于第二个问题，我们首先对于第四个问题，我们首先求出函数fx,y的偏导数，然对于第三个问题，我们首先求出函数fx,y在给定区间上求出函数fx,y的方向导数，后根据极值的必要条件判断求出函数fx,y的偏导数，然的极值，然后比较这些极值然后根据方向导数的定义判出在点1,2处是否存在极值，后根据极值的必要条件判断与区间端点的函数值，从而断出在点0,0处的方向导数最后通过验证充分条件判断出在点1,-1处的极性得到最大值和最小值的取值范围出极值的类型。