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数列的极限目录CONTENTS•数列极限的定义•数列极限的性质•数列极限的存在性定理•数列极限的应用•数列极限的证明方法01数列极限的定义CHAPTER定义及性质定义对于数列${a_{n}}$,如果当$n$趋于无穷大时,$a_{n}$趋于某个常数$a$,则称数列${a_{n}}$收敛于$a$性质极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等收敛与发散收敛当数列的项逐渐接近一个常数时,该数列称为收敛的发散如果数列的项没有收敛到任何值,则该数列称为发散的收敛的几何意义几何解释在数轴上,如果一个数列的项逐渐接近一个点,那么这个数列就是收敛的,而这个点就是它的极限举例考虑数列${1,-1,1,-1,ldots}$,该数列在$x=0$处收敛,因为当$n$趋于无穷大时,该数列的项逐渐接近002数列极限的性质CHAPTER极限的唯一性总结词极限的唯一性是指对于任意给定的正数,都存在一个正整数$N$,使得当$nN$时,数列的项$a_n$只取唯一确定的数值详细描述极限的唯一性是数列极限的基本性质之一它表明,对于任意给定的正数$varepsilon$,都存在一个正整数$N$,使得当$nN$时,数列的项$a_n$与极限值$lim a_n$之间的差的绝对值小于$varepsilon$这意味着数列的项在足够大的项数后将趋近于唯一的值,即极限值极限的保序性总结词极限的保序性是指如果数列的前项小于后项,则其极限也满足这一性质详细描述极限的保序性是数列极限的一个重要性质它表明,如果数列的项满足$a_n leqa_{n+1}$(或$a_n geqa_{n+1}$),则其极限也满足$lim a_n leqlim a_{n+1}$(或$lim a_ngeq lim a_{n+1}$)这一性质说明,数列的项在趋近于极限时仍然保持原有的大小关系极限的四则运算性质总结词详细描述极限的四则运算性质是指数列的极限可以按照四则运极限的四则运算性质是数列极限的一个重要性质它表算规则进行运算,且运算结果仍然满足极限的定义明,对于两个收敛数列$a_n$和$b_n$,其和、差、积及商等运算后的数列仍然收敛,且其极限值可以通过相应的四则运算规则求得具体来说,如果$lim a_n=A$,$lim b_n=B$,则有$lim a_n pmb_n=Apm B$,$lima_n timesb_n=A timesB$以及$lim frac{a_n}{b_n}=frac{A}{B}$(当$B neq0$)这些性质在研究数列的极限时非常有用,它们使得我们可以将复杂的数列分解为简单的数列,从而更容易地求得其极限03数列极限的存在性定理CHAPTER收敛定理总结词如果一个数列的项数无限增大时,数列的项无限地接近于一个确定的常数,则称该数列存在极限详细描述收敛定理是数列极限存在性定理中最基本的一个,它表明如果一个数列从某一项开始,其后续的项都无限地接近于一个确定的常数,那么这个数列存在极限,且极限就是这个常数单调有界定理总结词如果一个数列单调增加或单调减少,且存在上界或下界,则该数列存在极限详细描述单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论,它表明如果一个数列单调增加或单调减少,并且存在上界或下界,那么这个数列存在极限这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小,而有界性则保证了数列不会趋于无穷大或无穷小柯西收敛准则要点一要点二总结词详细描述如果对于任意给定的正数$varepsilon$,存在正整数$N$,柯西收敛准则是数列极限存在性定理中的另一个重要定理,使得对于所有$nN$,都有$|a_n-它提供了一种判断数列是否存在极限的充分必要条件柯a_{n+1}|varepsilon$,则称数列${a_n}$收敛西收敛准则表明,如果对于任意给定的正数$varepsilon$,存在正整数$N$,使得对于所有$nN$,都有$|a_n-a_{n+1}|varepsilon$,那么这个数列存在极限这个准则的证明涉及到数学分析中的极限性质和不等式性质等知识点04数列极限的应用CHAPTER无穷小量与连续函数无穷小量连续函数在数列极限中,无穷小量是指趋于零但在数列极限的基础上,我们可以研究函数不等于零的量通过数列极限,我们可的连续性,即函数在某点的极限值等于该以更好地理解无穷小量,并利用它来研VS点的函数值通过无穷小量,我们可以更究函数的连续性好地理解连续函数的性质和特点微积分基本定理微积分基本定理应用微积分基本定理是微积分学中的基础定理,微积分基本定理在解决实际问题中具有广泛它建立了定积分与不定积分之间的关系通的应用,如计算面积、体积、长度等通过过数列极限,我们可以更好地理解微积分基数列极限,我们可以更好地理解和应用微积本定理的证明和应用分基本定理来解决实际问题实数完备性定理实数完备性定理应用实数完备性定理是一组关于实数的定理,包实数完备性定理在数学分析和实数理论中具括实数的加法、乘法和序关系等性质通过有广泛的应用,如证明不等式、求解方程等数列极限,我们可以更好地理解实数完备性通过数列极限,我们可以更好地理解和应用定理的证明和应用实数完备性定理来解决数学问题05数列极限的证明方法CHAPTER定义法总结词详细描述通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限定义法是最基本的证明数列极限的方法,它基于数列极限的定义,通过直接计算数列的项与极限值之间的差的绝对值,并证明这个差可以任意小,从而证明数列的极限柯西收敛准则证明法总结词详细描述利用柯西收敛准则来证明数列的极限柯西收敛准则是一个充要条件,用于判断数列是否收敛它基于数列的项之间的差的绝对值可以任意小这一性质,通过构造一个特定的子数列来证明原数列的极限数学归纳法证明法总结词利用数学归纳法来证明数列的极限详细描述数学归纳法是一种证明数列性质的方法,它可以用来证明数列的极限通过数学归纳法,我们可以证明数列的每一项都满足某个性质,从而推断出整个数列满足这个性质,包括极限值这种方法在证明一些复杂的数列极限时非常有用谢谢THANKS。