还剩15页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
阶微分方程•微分方程简介目•一阶微分方程•二阶常系数线性微分方程录•二阶变系数线性微分方程•高阶微分方程CATALOGUE01CATALOGUE微分方程简介微分方程的定义阶微分方程中未知函数的导数的最高次数微分方程是包含一个或多个未知函数的导数的方程线性如果一个微分方程中未知函数的最高阶导数项的次数为一次,则该微分方程为线性微分方程微分方程的分类泛函微分方程描述一个未知函数在时间或偏微分方程其他参数上的变化规律的微分方程含有多个未知函数的微分方常微分方程程,且每个未知函数都只在一个导数中出现只含有一个未知函数的微分方程微分方程的应用工程问题在工程领域中,如机械、航空航天、电力等,微分方程被广泛应用于解决物理问题各种实际问题解决物理问题时,常常需要建立微分方程来描述物理现象的变化规律生物医学问题在生物学和医学领域,微分方程被用来描述生物体的生长、代谢等过程经济问题在经济学中,微分方程被用来描述经济系统的动态变化,如供需关系、经济增长等02CATALOGUE一阶微分方程一阶线性微分方程010203定义解法应用一阶线性微分方程是形如y+通过变量分离法、积分因子法、一阶线性微分方程在物理学、工pxy=qx的微分方程,其中常数变易法等方法求解程学、经济学等领域有广泛应用px和qx是已知函数一阶非线性微分方程解法应用定义一阶非线性微分方程是形如求解一阶非线性微分方程通常一阶非线性微分方程在描述自fx,y=0或y=gx,y的需要使用数值方法,如欧拉法、然现象、解决实际问题等方面微分方程,其中f和g是已龙格-库塔法等有重要应用知函数一阶微分方程的解法直接积分法常数变易法对于形如dy/dx=fx的微分方程,可以通过对于形如dy/dx+pxy=qx的微分方程,积分求解通过引入常数变易法化为可求解的形式A BC D分离变量法数值方法对于形如dy/dx+pxy=qx的微分方程,对于难以解析求解的一阶非线性微分方程,可以通过分离变量化为可求解的形式使用数值方法进行近似求解03CATALOGUE二阶常系数线性微分方程定义与公式定义二阶常系数线性微分方程是形如$y+pxy+qxy=fx$的方程,其中$px$和$qx$是已知函数,$fx$是未知函数公式对于二阶常系数线性微分方程$y+py+qy=0$,其解称为通解,记作$y=C_1y_1+C_2y_2$,其中$y_1$和$y_2$是线性无关的解,$C_1$和$C_2$是常数特征根与通解特征根对于方程$y+py+qy=0$,如果存在两个复数$lambda_1$和$lambda_2$,使得$lambda_1+lambda_2=-p$且$lambda_1lambda_2=q$,则称$lambda_1$和$lambda_2$为特征根通解如果特征根$lambda_1$和$lambda_2$是实数或共轭复数,则通解为$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}$;如果特征根是不同的实数,则通解为$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}$或$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2cossqrt{lambda_2-lambda_1}x+C_3sinsqrt{lambda_2-lambda_1}x$特解与初始条件特解满足特定非齐次项的解称为特解初始条件为了确定特解,需要给出初始条件,如$yx_0=y_0$和$yx_0=y_0$根据初始条件,可以求出特解并确定未知常数04CATALOGUE二阶变系数线性微分方程定义与公式定义公式二阶变系数线性微分方程是形如yx+该方程包含两个未知函数,即yx和pxyx+qxyx=0的微分方程,yx,并且满足一定的边界条件其中px和qx是关于x的函数VS解法与技巧解法常用的解法包括分离变量法、常数变易法和积分因子法等技巧在解方程时,需要注意初始条件和边界条件的处理,以及如何选择合适的解法来简化计算。