《高等数学》上册课件全集第1章极限与连续

《高等数学》上册课件全集第1章极限与连续•极限的定义与性质•极限的运算•连续函数CATALOGUE•无穷小量与阶的比较目录•闭区间上连续函数的性质01极限的定义与性质极限的描述性定义极限的描述性定义当自变量趋近某一值时，函数值趋近于某一确定的数，这个确定的数就是函数的极限描述性定义的应用通过观察函数的变化趋势，可以初步判断函数的极限值极限的严格定义（数列极限和函数极限）数列极限的严格定义对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，当$nN$时，有$|a_n-L|varepsilon$函数极限的严格定义对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，当$0|x-a|delta$时，有$|fx-L|varepsilon$极限的性质唯一性一个函数的极限是唯一的有界性一个有极限的函数必定是有界的局部保号性如果函数在某点的极限大于0，则函数在该点的附近一定大于0；反之亦然局部有界性如果函数在某点的极限存在，则函数在该点的附近一定有界02极限的运算极限的四则运算法则加法法则减法法则若limx→a fx=A和limx→a gx=B，若limx→a fx=A和limx→a gx=B，则limx→a[fx+gx]=A+B则limx→a[fx-gx]=A-B乘法法则除法法则若limx→a fx=A和limx→a gx=B，若limx→a fx=A和limx→a gx=B则limx→a[fx×gx]=A×B（B≠0），则limx→a[fx/gx]=A/B复合函数的极限复合函数极限的定义设函数y=f[gx]由函数y=fu和函数u=gx复合而成，如果limx→a gx=b存在，且limu→bfu=L，则limx→a f[gx]=L复合函数极限的运算法则与极限的四则运算法则类似，适用于复合函数的极限运算函数极限存在性定理函数极限存在定理如果函数f在某点的某个去心邻域内有定义，且在某点的左右极限都存在且相等，则函数在该点存在极限函数极限存在定理的应用用于判断函数在某点的极限是否存在，以及求解函数的极限值03连续函数连续函数的定义连续函数的定义如果函数在某一点的极限值等于函数值，则称函数在该点连续即，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当|x-x₀|δ时，|fx-fx₀|ε，则称函数f在点x₀处连续连续函数的性质连续函数具有一些重要的性质，如局部有界性、局部保号性、介值定理等这些性质在研究函数的极限、导数和积分等数学概念时非常重要初等函数的连续性初等函数的连续性初等函数的性质初等函数是由幂函数、指数函数、三角初等函数具有一些重要的性质，如可导性、函数和反三角函数经过有限次的四则运可积性、有界性等这些性质在解决数学算得到的函数初等函数在其定义域内VS问题时非常有用，如求解微分方程、积分是连续的，这是因为它们的定义域是闭方程等区间，且在其定义域内没有间断点04无穷小量与阶的比较无穷小量的定义与性质无穷小量在自变量趋于某点或无穷时，函数值趋于零的变量无穷小量的性质无穷小量具有可加性、可减性、可乘性和可除性无穷小量与阶的比较010203等价无穷小量高阶无穷小量低阶无穷小量两个无穷小量在一定条件一个无穷小量是另一个无一个无穷小量是另一个无下可以相互替换，它们的穷小量的高阶，表示前者穷小量的低阶，表示前者比值为1趋于零的速度更快趋于零的速度更慢无穷小量在极限计算中的应用利用等价无穷小量简化极限计算01利用高阶或低阶无穷小量判断极限的存在性02利用无穷小量的性质求解极限问题0305闭区间上连续函数的性质最大值最小值定理总结词01闭区间上连续函数在其区间内一定存在最大值和最小值详细描述02根据闭区间上连续函数的性质，如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，那么这个函数一定在[a,b]区间内取得最大值和最小值证明方法03利用实数的完备性，即实数轴上的任何区间都包含一个最大值和一个最小值，结合闭区间上连续函数的性质，可以证明闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值中值定理总结词如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，那么在这个区间内至少存在一个点，使得函数在该点的值为区间内两个端点值的平均值详细描述中值定理也称为拉格朗日中值定理，它说明如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，那么存在一个点c∈a,b，使得fc=fa+fcb−a，其中fc是函数在点c处的导数证明方法利用闭区间上连续函数的性质和罗尔定理，可以证明中值定理的正确性零点定理和介值定理总结词零点定理说明如果函数在区间的两端取值异号，则该区间内一定存在至少一个零点；介值定理说明如果在闭区间[a,b]上连续的函数fx满足fa0和fb0，则存在至少一个c∈a,b，使得fc=0详细描述零点定理和介值定理是实数完备性的重要推论，它们说明如果一个函数在闭区间的两个端点取值异号或满足特定条件，则该区间内一定存在至少一个零点或满足特定条件的点证明方法利用实数的完备性和闭区间上连续函数的性质，可以证明零点定理和介值定理的正确性THANKS感谢观看。