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高数课件24全微分目录•全微分的定义•全微分的计算方法CONTENT•全微分的应用•习题与解答•总结与回顾01全微分的定义函数在某点的全微分函数在某点的全微分是指函数在该点的微小改变量,即函数在该点附近的小增量全微分是函数值变化量的线性近似,即全微分等于函数在该点的导数与自变量增量乘积加上高阶无穷小量全微分的几何意义全微分的几何意义是函数图像在某点切线的斜率,即函数在该点附近的小增量在坐标轴上的投影全微分的大小表示函数图像在该点附近的变化趋势和变化速率全微分的性质全微分具有线性性质,即两个函数的和或差的的全微分等于它01们全微分的和或差全微分具有连续性,即函数在某点的全微分与其附近点的全微02分连续变化全微分具有可加性,即函数在某点的全微分等于该点附近的任03意两点间函数的增量减去两点间距离的高阶无穷小量02全微分的计算方法切线斜率法总结词通过切线的斜率来近似函数在某一点的导数,从而得到全微分详细描述在函数图像上取一点,作该点处的切线,切线的斜率即为函数在该点的导数将导数乘以自变量增量得到全微分公式法总结词利用全微分的公式计算函数的全微分详细描述全微分的公式为dz=frac{∂z}{∂x}dx+frac{∂z}{∂y}dy,其中frac{∂z}{∂x}和frac{∂z}{∂y}分别表示函数在某点处对x和y的偏导数,dx和dy分别表示x和y的增量链式法则总结词当自变量和因变量之间存在函数关系时,全微分需使用链式法则进行计算详细描述链式法则是全微分计算中的重要法则,当自变量和因变量之间存在复合函数关系时,全微分需要按照链式法则进行计算,即先对内层函数求全微分,再对外层函数求全微分03全微分的应用导数的计算导数定义导数是函数在某一点的变化率,表示函数在该点的切线斜率导数公式基本初等函数的导数公式,如常数、幂函数、指数函数、三角函数等导数法则导数的四则运算法则和复合函数的导数法则,如乘积法则、商的导数法则、链式法则等极值的判断极值定义极值条件函数在某点的值大于或小于其邻近点的值,称一阶导数等于零的点可能是极值点,但需要进为该点的极值一步判断二阶导数的符号极值判定通过一阶导数和二阶导数的符号变化,判断极值点的类型(极大值或极小值)近似计算泰勒展开利用泰勒展开式,将复杂的函数表示为简单的多项式形式,便于近似计算误差估计近似方法根据泰勒展开的余项,估计近似计算的误差利用泰勒展开进行近似计算的方法,如求函大小数的近似值、求函数的零点等04习题与解答习题在此添加您的文本17字在此添加您的文本16字计算下列函数的全微分$hx,y=frac{x^{2}}{y}+frac{y^{2}}{x}$在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字$fx,y=x^{2}+y^{2}$设$z=fx,y$,其中$fx,y$具有连续的偏导数,求$frac{partial z}{partial x}$和$frac{partial z}{partial y}$在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字$gx,y=sinx+cosy$已知函数$z=fx,y$的全微分$dz=2xdx+3ydy$,求$f1,2$解答计算下列函数的全微分全微分$df=2xdx+2ydy$解答$gx,y=sinx+$hx,y=cosy$frac{x^{2}}{y}+frac{y^{2}}{x}$全微分$d g=c osxd x-sinydy$解答全微分$dh=frac{2x}{y}dx-frac{x^{2}}{y^{2}}dy+frac{2y}{x}dy-frac{y^{2}}{x^{2}}dx$设$z=fx,y$,其中$fx,y$具有连续的偏导数,求$frac{partial z}{partial x}$和$frac{partial z}{partial y}$由全微分的定义可知,$frac{partial z}{partial x}=frac{partialf}{partial x}dx$,$frac{partial z}{partial y}=frac{partialf}{partial y}dy$解答已知函数$z=fx,y$的全微分$dz=2xdx+3ydy$,求$f1,2$将$x=1,y=2,dx=0,dy=0$代入全微分方程,得到$f1,2=2*1*0+3*2*0=0$05总结与回顾全微分的重要性质连续性若函数ux,y在点x0,y0处可加性连续,则其在该点的全微分存在若函数ux,y和vx,y的全微线性性质分为du和dv,则u+v的全微分为du+dv若函数ux,y的全微分为du,则对于任意常数k和l,有k*du=k*du+l*du全微分的计算技巧公式法对于形如z=fx,y的二元函数,其全微分dz=fx*dx+fy*dy其中fx和fy分别表示函数z对x和y的偏导数定义法通过定义全微分的基本形式,即dz=Δz-Δy/Δx*dx+Δz-Δx/Δy*dy来计算全微分其中Δx和Δy分别为x和y的增量多重链式法则对于复合函数z=ghx,y,ux,y,其全微分为dz=∂g/∂h*∂h/∂x+∂g/∂u*∂u/∂x*dx+∂g/∂h*∂h/∂y+∂g/∂u*∂u/∂y*dy全微分的应用场景近似计算在二元函数的近似计算中,全微分可以帮助我们估计函数在某点附近的增量参数方程式在参数方程式表示的曲线上,全微分可以用来计算切线的斜率极值问题在求二元函数的极值时,全微分可以帮助我们找到驻点和可能的最值点。