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高数课件14凹凸性•凹凸性的定义目录•凹凸性的判定CONTENTS•凹凸性与函数性质•凹凸性在数学中的应用•总结与思考01CHAPTER凹凸性的定义凹函数的定义凹函数对于函数$fx$在区间$I$上,若对于任意$x_1,x_2in I$,且$x_1x_2$,都有$fx_1+fx_22f[x_1+x_2/2]$,则称$fx$在区间$I$上是凹函数几何意义在函数图像上,凹函数的曲线始终位于其切线的下方,即对于任意点$x,fx$,过该点的切线与曲线的交点位于该点的下方凸函数的定义凸函数对于函数$fx$在区间$I$上,若对于任意$x_1,x_2in I$,且$x_1x_2$,都有$fx_1+fx_22f[x_1+x_2/2]$,则称$fx$在区间$I$上是凸函数几何意义在函数图像上,凸函数的曲线始终位于其切线的上方,即对于任意点$x,fx$,过该点的切线与曲线的交点位于该点的上方凹凸性的几何意义凹凸性是函数图像的一种几何特征,通过观察函数的凹凸性可以更好地理解函数的性质和变化趋势在实际应用中,例如在经济学、工程学等领域,凹凸性分析可以帮助我们更好地理解数据和模型的内在规律,为决策提供依据02CHAPTER凹凸性的判定凹凸性的判定定理凹函数的判定定理如果函数$fx$在区间$I$上满足对任意$x_1,x_2in I$,都有$f[x_1+x_2/2]f[x_2+x_3/2]$,则称$fx$在区间$I$上是凹函数凸函数的判定定理如果函数$fx$在区间$I$上满足对任意$x_1,x_2in I$,都有$f[x_1+x_2/2]f[x_2+x_3/2]$,则称$fx$在区间$I$上是凸函数凹凸性的判定方法导数判定法如果函数$fx$在区间$I$上的一阶导数$fx$存在且大于0,则称$fx$在区间$I$上是凹函数;如果一阶导数小于0,则称$fx$是凸函数二次导数判定法如果函数$fx$在区间$I$上的二阶导数$fx$大于0,则称$fx$在区间$I$上是凹函数;如果二阶导数小于0,则称$fx$是凸函数凹凸性的判定实例函数$fx=x^2$在$mathbf{R}$上函数$fx=x^3$在$mathbf{R}$上是凸函数,因为其二阶导数$fx=是凹函数,因为其二阶导数$fx=20$6x0$当且仅当$x0$VS03CHAPTER凹凸性与函数性质凹凸性与函数的最值总结词详细描述函数的凹凸性与其最值有密切关系,了解凹在数学中,如果一个函数在某区间内是凹的,凸性有助于更好地理解函数的最值那么该函数在此区间内只可能有一个极大值点和一个极小值点;如果一个函数在某区间内是凸的,那么该函数在此区间内只可能有一个极大值点和一个极小值点因此,了解函数的凹凸性有助于我们更好地确定函数的最值凹凸性与函数的导数总结词函数的凹凸性与其一阶导数有直接关系,通过研究导数的性质可以判断函数的凹凸性详细描述根据导数的定义和性质,如果一个函数在某区间内的一阶导数大于0,那么该函数在此区间内是凹的;如果一个函数在某区间内的一阶导数小于0,那么该函数在此区间内是凸的因此,通过研究函数的一阶导数,我们可以判断函数的凹凸性凹凸性与函数的二阶导数总结词详细描述函数的凹凸性与其二阶导数有密切关系,二根据二阶导数的定义和性质,如果一个函数阶导数的符号决定了函数的凹凸性在某区间内的二阶导数大于0,那么该函数在此区间内是凹的;如果一个函数在某区间内的二阶导数小于0,那么该函数在此区间内是凸的因此,通过研究函数的二阶导数,我们可以确定函数的凹凸性同时,二阶导数的符号变化点也是拐点,即函数凹凸性发生变化的点04CHAPTER凹凸性在数学中的应用凹凸性在不等式证明中的应用要点一要点二总结词详细描述利用凹凸性可以证明不等式通过分析函数的凹凸性,可以推导出函数在某区间上的增减性,进而证明不等式例如,如果一个函数在某区间上是凹函数,那么对于该区间上的任意两个数x1和x2,都有fx1+x2/2≥fx1+fx2/2,这个性质可以用于证明一些不等式凹凸性在优化问题中的应用总结词详细描述凹凸性有助于求解优化问题在优化问题中,目标函数往往具有凹凸性通过分析函数的凹凸性,可以确定函数的极值点,从而找到优化问题的最优解此外,凹凸性还可以用于求解约束优化问题,例如利用拉格朗日乘数法将多变量问题转化为单变量问题,再利用凹凸性求解凹凸性在微分方程中的应用总结词详细描述凹凸性有助于研究微分方程的解的性质在研究微分方程的解的性质时,函数的凹凸性是一个重要的考虑因素例如,对于一阶线性微分方程y=fx,y,如果fx,y在某个区间上为增函数,那么微分方程在此区间内有且只有一个解;反之,如果fx,y在某个区间上为减函数,那么微分方程在此区间内无解此外,凹凸性还可以用于研究高阶微分方程的解的稳定性等性质05CHAPTER总结与思考本章重点回顾凹凸性的定义判定凹凸性的方法凹函数和凸函数的定义及其几何意义利用导数判定凹凸性的方法,包括凹凸性的判定定理和推论凹凸性的应用凹凸性在函数极值、不等式证明等方面的应用思考题与习题思考题如何利用凹凸性习题求出下列函数的凹判定定理证明不等式?凸区间及拐点$fx=x^{3}-3x^{2}+$fx=frac{1}{3}x^{3}-3x$x^{2}+1$下章预告下章将介绍高数中的微分中值定理,包括费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等学习微分中值定理对于理解函数的性质、研究函数的极值以及解决实际问题具有重要意义THANKS谢谢。