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ONE KEEPVIEW2023-2026《高数课件22偏导数》ppt课件REPORTING•偏导数的定义•偏导数的计算法则•偏导数的应用目•偏导数与全微分的关系•偏导数的物理意义录•偏导数的扩展知识CATALOGUEPART01偏导数的定义偏导数的概念偏导数的定义偏导数的物理意义对于一个多变量的函数,如果一个变在物理中,偏导数可以表示某一物理量变化时,其他变量保持不变,那么量随其他变量变化的情况,例如温度、这个函数的一阶导数就是偏导数压力等偏导数的几何意义在二维平面上,偏导数表示函数图像在某一点的切线的斜率在三维空间中,偏导数表示函数图像在某一点的切平面的法线斜率偏导数的计算方法定义法链式法则根据偏导数的定义,对函数进行求导,如果一个复合函数的自变量和中间变得到偏导数的值量都是单一变量,那么可以将链式法则应用于求偏导数隐式法则高阶偏导数对于一个隐函数,可以通过对等式两对于高阶偏导数,可以通过对函数进边求导来得到偏导数的值行多次求导来得到偏导数的应用几何应用经济应用工程应用在几何中,偏导数可以用于研究在经济学中,偏导数可以用于研在工程中,偏导数可以用于研究曲面、曲线以及空间几何体的形究需求函数、供给函数以及价格流体动力学、热传导以及弹性力状和性质与产量的关系学等问题PART02偏导数的计算法则偏导数的定义偏导数的定义对于一个多变量函数,如果一个变量变化,而其他变量保持不变,则该函数对变化变量的导数称为偏导数偏导数的几何意义在二维平面上,偏导数表示函数图像在某一点的切线斜率在三维空间中,偏导数表示函数图像在某一点的切平面法线的斜率偏导数的计算方法链式法则对于复合函数,如果内层函数和外层函数都可导,1则复合函数的偏导数等于外层函数的偏导数乘以内层函数的偏导数乘积法则对于两个函数的乘积,其偏导数为两个函数的偏2导数的乘积加上两个函数乘积的偏导数偏导数的求导法则在求偏导数时,可以使用求导的基本法则,如乘3积法则、商的求导法则、幂的求导法则等偏导数的应用求极值通过求函数的二阶偏导数,判断一阶偏导数的零点是否为极值点如果二阶偏导数在零点处变号,则一阶偏导数的零点为极值点求方向导数方向导数是函数在某点处沿某一方向的变化率,可以通过求偏导数得到方向导数方向导数的最大值即为函数在该点的梯度求曲线的切线方程通过求函数的偏导数,可以得到曲线在某一点的切线斜率,从而得到切线方程求曲面的法线方程通过求函数的二阶偏导数,可以得到曲面在某一点的法线斜率,从而得到法线方程PART03偏导数的应用偏导数的几何意义偏导数表示函数在某一点处沿某一方向的变化率,即切线的斜01率通过偏导数可以研究函数在某一点处的局部变化特性,例如凹02凸性、单调性等在几何图形中,偏导数可以帮助我们更好地理解函数图像的形03状和趋势偏导数在优化问题中的应用010203在最优化问题中,偏导数可以在多元函数中,偏导数可以用偏导数还可以用来研究函数的用来求解函数的极值点,例如来研究函数的极值条件,例如约束条件下的最优解,例如在一元函数的极值点可以通过一鞍点、拐点等,从而找到最优约束条件下求解最小化或最大阶导数等于零的点来求解解化目标函数的问题偏导数在经济中的应用在经济学中,偏导数可以用来研通过偏导数可以分析经济活动中在制定经济政策时,偏导数可以究边际效应,例如边际成本、边各种因素的变化对总体的影响程帮助我们更好地理解政策调整对际收益等度,例如需求弹性、供给弹性等经济的影响,从而做出更科学的决策偏导数在物理学中的应用01在物理学中,偏导数可以用来描述物理量的变化规律,例如温度、压力等02通过偏导数可以研究物理量之间的相互关系,例如热传导方程、波动方程等03偏导数还可以用来研究物理量的变化对其他物理量的影响,例如弹性力学中的应力应变关系等PART04偏导数与全微分的关系偏导数的定义偏导数在数学中,偏导数表示函数在某一点处沿某一方向的变化率定义对于一个多变量的函数,如果函数在某一点的某几个分量为零,而其他分量的变动保持不变,则该函数在该点的偏导数就是由不为零的分量变动所引起的函数在该点的变化率全微分的概念全微分全微分是指函数在某一点的全增量,可以用来近似代替函数在一点的真实值定义全微分等于各个偏导数与相应自变量增量乘积的和偏导数与全微分的关系偏导数描述了函数在某一点处沿某一方向的变化率,01而全微分则描述了函数在某一点的全增量在几何上,偏导数表示切线的斜率,而全微分则表示02切线的方向导数在近似计算中,全微分可以用来估计函数在某一点的03误差,而偏导数则可以用来确定误差的方向PART05偏导数的物理意义偏导数的概念偏导数的定义对于一个多变量的函数,如果一个变量变化,而其他变量保持不变,那么该函数对变化变量的导数称为偏导数偏导数的几何意义在二维平面上,偏导数表示函数图像在某一点的切线斜率在三维空间中,偏导数表示函数曲面在某一点的法线斜率偏导数的物理意义在物理领域中,偏导数可以表示物理量关于某个变量的变化率,例如速度关于时间的变化率、温度关于空间的变化率等偏导数在物理中的应用速度与加速度在运动学中,速度和加速度是描述物体运动的重要物理量通过偏导数,我们可以计算出物体在某一点的速度和加速度热传导在热力学中,温度是描述物体热状态的重要物理量通过偏导数,我们可以计算出物体在某一点处的温度梯度,即温度随空间位置的变化率电场与磁场在电磁学中,电场和磁场是描述电磁场的基本物理量通过偏导数,我们可以计算出电场强度和磁场强度在某一点的变化率偏导数的计算方法偏微分方程在求解某些物理问题时,需要用到偏微分方程通高阶偏导数过求解偏微分方程,可以得到函数在不同点处的偏导数值对于一个多变量的函数,如果需要计算更高阶的偏导数,可以使用链式法则和乘积法则数值方法进行计算对于一些难以解析求解的偏微分方程,可以使用数值方法进行求解例如有限差分法、有限元法等偏导数的应用实例经济分析化学反应动力学在经济领域中,偏导数可以用于分析边在化学反应中,反应速率与反应物浓度的际成本、边际收益等经济指标的变化率关系可以用偏导数进行描述通过计算偏VS导数,可以了解反应在不同条件下的变化趋势PART06偏导数的扩展知识偏导数的几何意义偏导数表示函数在某一点处沿某一方向的变化率,即切线的斜率通过偏导数可以判断函数在某点处的可微性和方向变化偏导数的连续性偏导数连续是函数在某点处可微的必要条件如果偏导数不连续,则函数在该点可能不可微,进而影响函数的性质偏导数的计算方法链式法则高阶偏导数对于复合函数的偏导数,可以使用链式法则进对于高阶偏导数,可以通过递推关系进行计算行计算隐函数求导对于由多个变量构成的隐函数,可以通过对各个变量求导来找到偏导数偏导数的应用优化问题在经济学、运筹学等领域中,常常需要求解函数的极值点,而偏导数可以用来判断函数的极值点曲线拟合在数据分析和机器学习中,常常需要使用曲线来拟合数据,而偏导数可以用来求解最优拟合参数。