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高数微分方程目录•微分方程简介•一阶微分方程•二阶微分方程•高阶微分方程•微分方程的解法•微分方程的应用实例01微分方程简介Chapter微分方程的定义是包含未知函数及其导数的等式微分方程它描述了某一变量随时间或其他变量的变化规律满足微分方程的函数称为微分方微分方程的解程的解描述未知函数在某点的初始状态初始条件或值的条件描述系统在边界上的行为或条件边界条件的条件微分方程的分类线性微分方程未知函数的导数与其自身成线性关系的微分方程非线性微分方程未知函数的导数与其自身不成线性关系的微分方程常系数微分方程系数为常数的微分方程变系数微分方程系数随时间变化的微分方程微分方程的应用01020304物理问题工程问题经济问题生物问题描述物理现象的变化在机械、航空、化工描述经济系统的变化描述生物种群的增长规律,如振动、波动、等领域中描述系统的规律,如供需关系、规律、生态系统的平电磁场等动态行为市场价格等衡等02一阶微分方程Chapter一阶线性微分方程定义形如$y+pxy=qx$的微分方程称为一阶线性微分方程解法通过变量代换$y=e^{int pxdx}$,将方程转化为线性方程应用描述物理、工程等领域的许多问题,如振动、电路、控制系统等一阶非线性微分方程定义解法形如$y=fx,y$的微分方程称为一阶非线性常用的解法有分离变量法、积分因子法、常数微分方程变易法等应用广泛用于描述各种实际问题,如化学反应、生态平衡、交通流等一阶常系数线性微分方程定义形如$y+py=q$的微分方程称为一阶常系数线性微分方程解法应用通过求解特征方程$r^2+pr+q=0$得到在物理学、工程学等领域有广泛应用,如振通解动、电路等03二阶微分方程Chapter二阶线性微分方程定义形如$y+pxy+qxy=fx$的微分方程称为二阶线性微分方程解法通过代换$y=e^{rx}$,将其转化为二阶常系数线性微分方程特例当$px=0$,$qx=k$时,方程简化为$y+ky=fx$二阶非线性微分方程定义形如$y+fx,y,y=0$的微分方程称为二阶非线性微分方程解法特例通常需要使用迭代法、分离变量法等技巧求当$fx,y,y$为多项式时,可以使用幂级数解展开法求解二阶常系数线性微分方程定义形如$y+py+qy=fx$的微分方程称为二阶常系数线性微分方程解法通过求解特征方程$r^2+pr+q=0$,得到通解为$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$特例当特征方程有两个相等的实根时,解为$y=C_1+C_2xe^{r_1x}$;当特征方程无实根时,解为$y=e^{rx}C_1x+C_2$04高阶微分方程Chapter高阶线性微分方程定义高阶线性微分方程是形如y^n+a_n-1*y^n-1+...+a_1*y+a_0*y=fx的方程,其中a_0,a_1,...,a_n-1是常数,fx是x的已知函数解法通过变量代换和常数变异,将高阶线性微分方程转化为容易求解的一阶线性微分方程组高阶非线性微分方程定义解法高阶非线性微分方程是指形如y^n+fy,y,...,求解高阶非线性微分方程通常需要使用数值方法,y^n-1=0的方程,其中f是一个非线性函数如欧拉法、龙格-库塔法等高阶常系数线性微分方程定义高阶常系数线性微分方程是指形如y^n+a_n-1*y^n-1+...+a_1*y+a_0*y=0的方程,其中a_0,a_1,...,a_n-1是常数解法通过求解特征方程,找到特征根,然后根据特征根的性质求解高阶常系数线性微分方程05微分方程的解法Chapter分离变量法总结词通过将微分方程转化为代数方程,简化求解过程详细描述分离变量法是将微分方程中的变量分离出来,转化为代数方程,从而将微分方程简化为可求解的形式这种方法适用于具有特定形式的一阶线性微分方程参数法总结词通过引入参数,将微分方程转化为易于求解的形式详细描述参数法是通过引入参数,将微分方程转化为关于参数的微分方程,从而简化求解过程这种方法适用于具有特定形式的一阶和二阶微分方程积分因子法总结词通过引入积分因子,消除微分方程中的导数项,转化为代数方程详细描述积分因子法是通过引入积分因子,将微分方程转化为关于变量的代数方程这种方法适用于具有特定形式的一阶线性微分方程通过找到积分因子,可以将微分方程转化为可求解的代数方程06微分方程的应用实例Chapter物理问题中的应用自由落体运动01描述物体在重力作用下的运动轨迹时,可以使用微分方程来求解弹性碰撞02在物理中,两个物体发生碰撞时,可以使用微分方程来描述和求解碰撞后的运动状态电路分析03在电路中,电流、电压和电阻之间的关系可以用微分方程来表示和求解经济问题中的应用供需关系在经济学中,商品的价格和供应量、需求量之间的关系可以用微分方程来表示和求解经济增长模型描述一个国家或地区的经济增长时,可以使用微分方程来建立模型并求解投资组合优化投资者在投资组合优化时,可以使用微分方程来描述和求解投资组合的收益和风险生物问题中的应用010203种群动态传染病传播药物动力学描述一个种群的数量变化时,可在传染病传播过程中,可以使用在药物动力学中,药物在人体内以使用微分方程来建立模型并求微分方程来描述和求解疾病的传的浓度变化可以用微分方程来表解播速度和趋势示和求解THANKS感谢观看。