《概率论与数理统计》课件概率论

《概率论与数理统计》经典课件-概率论•概率论的基本概念contents•条件概率与独立性•随机变量及其分布目录•随机变量的数字特征•大数定律与中心极限定理•数理统计基础01概率论的基本概念概率的定义与性质概率的定义概率是衡量随机事件发生可能性的数学量，通常表示为P概率的性质概率具有一些基本性质，包括非负性（PA≥0）、规范性（P必然事件=1）和可加性（对立事件的概率和为1）随机试验与样本空间随机试验随机试验是在一定条件下进行的试验，其结果具有不确定性样本空间样本空间是随机试验所有可能结果的集合，通常表示为Ω事件的概率事件的概率事件的概率是衡量该事件发生可能性的数学量，通常表示为PA事件的独立性如果两个事件之间没有相互影响，则称它们为独立的独立事件的概率满足乘法公式02条件概率与独立性条件概率定义条件概率是指在某个已知事件B发生的情况下，1另一个事件A发生的概率，记作PA|B计算公式PA|B=PA∩B/PB2应用场景在决策理论、统计学、信息理论等领域都有广泛3的应用事件的独立性定义应用场景如果两个事件A和B同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积，即在概率论、统计学、组合数学等领域PA∩B=PAPB，则称事件A和B都有广泛的应用是独立的性质独立的事件互不影响，即一个事件的发生不会影响到另一个事件发生的概率全概率公式与贝叶斯公式全概率公式如果一个复杂事件A可以分解为n个互斥的子事件A1,A2,...,An，且每个子事件都与另一个事件B独立，那么事件B在事件A发生的条件下发生的概率为PB|A=PB|AiPAi/PA贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知事件A发生的概率为PA，则事件B在事件A发生的条件下发生的概率为PB|A=PB/PA03随机变量及其分布随机变量的定义010203随机变量离散型随机变量连续型随机变量在概率论中，随机变量是离散型随机变量是在一定连续型随机变量是在一个一个定义在样本空间上的范围内可以一一列举出来区间内取值，其取值无法函数，其取值随试验结果的，例如投掷一枚骰子出一一列举出来，例如人的的变化而变化现的点数身高离散型随机变量及其分布离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布是指随机变量取每个可能值的概率常见的离散型随机变量分布二项分布、泊松分布、超几何分布等连续型随机变量及其分布连续型随机变量的概率密度函数连续型随机变量的概率密度函数描述了随机变量在某个区间的概率分布情况常见的连续型随机变量分布正态分布、指数分布、均匀分布等04随机变量的数字特征期望期望的性质期望具有线性性质，即EaX+b=期望值a*EX+b，其中a和b为常数表示随机变量取值的平均水平，计算公式为EX=Σx*px，其中x为随机变量的取值，px为相应的概率期望与概率的关系期望可以看作是概率加权和的数学期望值，反映了随机变量取值的平均水平方差方差定义方差性质方差与标准差方差是随机变量取值与期方差具有非负性，即DX方差的平方根称为标准差，望的离散程度的度量，计≥0；方差具有线性性质，标准差是衡量数据分散程算公式为DX=Σx-即DaX+b=a^2*DX度的重要指标EX^2*px协方差与相关系数协方差定义协方差性质相关系数协方差是衡量两个随机变量同时协方差具有非负性，即CovX,Y协方差与各自标准差的乘积之比偏离各自期望的程度，计算公式≥0；协方差具有线性性质，即称为相关系数，用于衡量两个随为CovX,Y=Σx-EX*y-CovaX+b,cY+d=机变量的线性相关程度EY*px,y ac*CovX,Y05大数定律与中心极限定理大数定律切比雪夫大数定律当n趋于无穷时，对于任意的ε0，有lim P|Xn/μn-1|ε=1，其中Xn是n个独立同分布随机变量的样本均值，μn是它们的期望辛钦大数定律当n趋于无穷时，独立同分布随机变量的算术平均值依概率收敛于期望值贝努利大数定律对于任意小的正数ε，当n趋于无穷时，有lim P|Xn/n-p|ε=1，其中Xn是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率中心极限定理棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理当n充分大时，一组独立同分布随机变量的标准化变量的分布近似于标准正态分布林德贝格-勒维中心极限定理对于任意实数ab，当n充分大时，有PaXnb≈Φb-μn-Φa-μn，其中Xn是n个独立同分布随机变量的样本均值，μn是它们的期望，Φ是标准正态分布的累积分布函数06数理统计基础总体与样本总体样本研究对象的全体集合从总体中随机抽取的一部分对象总体参数与样本统计量抽样方法总体参数是对总体特征的描述，样本统计量随机抽样、分层抽样、系统抽样等是对样本特征的描述参数估计点估计区间估计无偏估计有效估计用单个数值对未知参数用置信区间对未知参数估计量平均值等于真实估计量方差达到最小进行估计进行估计值假设检验假设检验的基本思想显著性检验根据样本信息对未知参数进行通过显著性水平判断假设是否推断成立假设检验的步骤接受域与拒绝域提出假设、构造检验统计量、根据检验统计量和临界值确定确定临界值、做出推断结论的区域THANKS感谢观看。