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《数值计算方法》ppt课件目录CONTENTS•引言•数值计算基础•线性代数方程组的求解•插值与拟合•数值积分与微分•优化算法•数值计算的软件实现01引言课程简介数值计算方法是一门研究用计算机实现数学运算的学科,主要探讨如何利用计算机解决各种数学问题,如线性方程组、微积分、积分方程等该课程是计算机科学与技术、数学与应用数学等专业的重要基础课程之一,旨在培养学生掌握基本的数值计算方法和技能,能够解决实际问题课程目标01掌握数值计算的基本原理和方法,包括迭代法、数值积分、数值微分、线性方程组求解等02理解误差分析和数值稳定性的概念,能够分析算法的精度和稳定性03学会使用常用的数值计算软件包,如MATLAB、Python等,进行数值实验和编程实践04培养学生的逻辑思维、抽象思维和创新能力,提高解决实际问题的能力学习方法建议注重理论与实践相结合,深入理解算法的数学原理,多做数值实验和编程练习掌握算法的实现细节多参考国内外优秀教材和积极参与课堂讨论和小组学术论文,拓宽知识面和活动,与同学互相学习和视野交流02数值计算基础数值计算概述数值计算的定义数值计算的应用领域数值计算是使用数学方法对实际问题进行数值科学、工程、经济、金融等领域模拟和分析的过程数值计算的基本步骤建立数学模型、离散化、数值计算、误差分析等误差的来源与控制误差的来源舍入误差、截断误差、初始误差等误差的表示方法绝对误差、相对误差、有效数字等误差的控制选择合适的算法和计算精度,进行误差分析和修正算法的稳定性与收敛性算法的稳定性指算法在受到一定扰动时,其输出的结果变化程度的大小算法的收敛性收敛速度指算法在迭代过程中,是否能逐渐逼近于真指算法收敛的快慢程度,通常用收敛阶数表实解或最优解的性质示03线性代数方程组的求解高斯消元法在此添加您的文本17字在此添加您的文本16字基础方法高斯消元法的步骤包括将增广矩阵的每一行对角线元素化为1,并消去其他元素然后将对角线元素代入求解在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字高斯消元法是最基本的线性代数方程组求解方法之一它优缺点通过消元过程将系数矩阵化为上三角矩阵,然后回带求解在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字步骤高斯消元法的优点是简单易懂,易于编程实现但缺点是当系数矩阵的数值较大或存在病态问题时,可能会产生较大的误差迭代法迭代思想迭代法是通过不断迭代逼近方程的解的方法它从一个初始解出发,通过迭代公式逐步逼近方程的真实解常用迭代法常用的迭代法包括雅可比迭代法和SOR(SuccessiveOver-Relaxation)迭代法等这些方法各有特点,适用于不同类型的问题收敛性分析迭代法的收敛性分析是关键,需要证明迭代序列收敛到方程的真实解,并估计收敛速度矩阵分解法矩阵分解矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵,从而简化计算的方法对于线性代数方程组的求解,常见的矩阵分解方法有LU分解、QR分解等矩阵分解法LU分解LU分解是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积,即A=LU这种分解方法可以有效地解决线性代数方程组Ax=b,特别是当系数矩阵A是稀疏矩阵时矩阵分解法QR分解QR分解是将一个矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积,即A=QR这种分解方法在求解最小二乘问题、特征值问题等方面有广泛应用04插值与拟合插值法线性插值二次插值通过已知的两点,利用线性函数进行插值利用三个已知点,通过二次函数进行插值样条插值立方插值通过构造样条曲线,在已知数据点之间进行利用四个已知点,通过立方函数进行插值插值最小二乘法拟合线性最小二乘拟合通过最小化误差平方和,找到最佳的线性拟合直线多项式最小二乘拟合通过最小化误差平方和,找到最佳的多项式拟合曲线加权最小二乘拟合根据不同的权重对误差进行加权,再进行最小化处理多项式拟合与非线性拟合多项式拟合利用已知数据点,通过多项式函数进行拟合1非线性拟合利用已知数据点,通过非线性函数进行拟合2迭代非线性拟合通过迭代的方式,不断优化非线性函数的参数,3以获得最佳的拟合效果05数值积分与微分数值积分数值积分方法误差分析介绍常用的数值积分方法,如梯形法、辛普分析各种数值积分方法的误差,以及如何选森法、高斯法等择合适的积分方法应用实例优缺点比较通过具体实例展示如何使用数值积分方法解比较各种数值积分方法的优缺点,以便在实决实际问题际应用中选择合适的方法数值微分数值微分方法介绍常用的数值微分方法,如差分法、中心差分法、有限元法等误差分析分析各种数值微分方法的误差,以及如何选择合适的微分方法应用实例通过具体实例展示如何使用数值微分方法解决实际问题优缺点比较比较各种数值微分方法的优缺点,以便在实际应用中选择合适的方法微分方程的数值解法微分方程分类数值解法介绍介绍微分方程的分类,如常微分方程、介绍常用的微分方程数值解法,如欧偏微分方程等拉法、龙格库塔法、有限差分法等误差分析应用实例分析各种数值解法的误差,以及如何通过具体实例展示如何使用数值解法选择合适的解法解决实际问题06优化算法最优化问题概述分类分为单目标最优化和多目标最优化问题定义最优化问题是在一定约束条件下,寻找一组参数,使得某个目标函数达到最小或最大值应用领域广泛应用于经济、工程、科学计算等领域一维搜索算法0102黄金分割法二分法通过不断将搜索区间一分为二,寻在闭区间上,通过不断缩小搜索区找最优解间来寻找最优解牛顿法插值法利用目标函数的导数信息,通过迭利用已知点构造插值函数,求解目代逼近最优解标函数的最优解0304多维优化算法遗传算法模拟生物进化过程的自然选择和遗传机制,寻找多维空间中的最优解梯度下降法利用目标函数的梯度信息,在多维空间中寻找最优解粒子群优化算法模拟鸟群、鱼群等生物群体的行为模式,通过个体间的信息共享和协作在模拟退火算法多维空间中寻找最优解模拟固体退火过程,通过随机扰动和接受概率机制在多维空间中寻找最优解07数值计算的软件实现MATLAB软件介绍强大的数值计算能力丰富的可视化工具MATLAB提供了大量的数值计算函数,包括MATLAB具有强大的绘图和可视化功能,可线性代数、矩阵运算、统计分析等以方便地绘制各种二维和三维图形方便的编程语言广泛的工程应用MATLAB的语法相对简单,容易上手,适合MATLAB在科学计算、数据分析、信号处理、初学者快速入门控制系统等领域得到了广泛应用Python科学计算库NumPy和SciPyNumPy是Python中用于进行SciPy库是基于NumPy的,提易于使用Python的语法简丰富的第三方库Python有大量的第三方库可供选择,可大规模数值计算的基础库,提供了许多高级的数学函数和算单明了,易于学习,适合快速以满足各种不同的需求供了多维数组对象以及一系列法,包括科学计算、数学建模、开发操作这个数组对象的函数信号处理、图像处理等软件实现案例分析010203线性方程组的求解数值积分最小二乘法拟合直线通过MATLAB和Python实现线使用MATLAB和Python实现数通过MATLAB和Python实现最性方程组的求解,比较两种方法值积分,并比较结果与真实值之小二乘法拟合直线,并比较拟合的优劣间的误差效果THANKSTHANK YOUFOR YOURWATCHING。