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复变函数课件2-1解析函数的概念•解析函数的基本概念•解析函数的导数与积分•解析函数的级数表示CATALOGUE•解析函数的几何意义目录•解析函数与实函数的关系01解析函数的基本概念解析函数的定义解析函数如果一个复函数在某区域内的任意点都可微,则称该函数在该区域内解析泰勒级数一个复函数在某点附近的展开式,如果这个级数在这一点存在且唯一,那么这个复函数在该点解析解析函数的性质解析函数的导数仍然解析函数在区域内的是解析的边界点处取值是确定的解析函数的和、差、积、商(分母不为零)仍然是解析的解析函数的应用解决实数范围内无法解决的数学在物理学、工程学等领域有广泛在复分析中,解析函数是研究复问题应用,如电磁学、波动方程等平面内全纯函数的基石,全纯函数在复分析中占据着重要的地位02解析函数的导数与积分解析函数的导数解析函数的定义导数的计算方法如果一个复函数在某区域内的全纯导通过求极限的方式,利用Cauchy积分数存在且连续,则称该函数在该区域公式计算解析函数的导数内解析解析函数导数的性质如果函数在某点解析,则其导数在该点也存在且连续;解析函数的导数仍然是解析的解析函数的积分解析函数的积分定义如果一个函数在某区域内解析,则其不定积分存在且唯一积分的基本性质如果函数在某区域内解析,则其不定积分在该区域内仍然解析;定积分可以通过不定积分进行计算积分的计算方法利用Cauchy积分公式和留数定理计算解析函数的积分解析函数的原函数010203原函数的定义原函数的性质原函数的计算方法如果一个函数的不定积分如果一个函数是原函数,通过不定积分和求导运算,存在且为解析函数,则称则其不定积分是解析的;可以计算出原函数该函数为原函数原函数在其定义域内是唯一的03解析函数的级数表示幂级数表示总结词幂级数表示是解析函数的一种重要表示方法,它通过将函数展开为幂函数的无穷级数来描述函数的性质详细描述幂级数表示是将复变函数表示为无穷级数的方式之一,其中每一项都是一个幂函数这种表示方法在研究函数的性质和行为时非常有用,因为它可以将复杂的函数简化为一系列简单的幂函数之和通过幂级数表示,我们可以更好地理解函数的可微性、可积性和其他重要的数学性质指数级数表示总结词指数级数表示是解析函数的一种特殊表示方法,它通过将函数展开为指数函数的无穷级数来描述函数的性质详细描述指数级数表示是将复变函数表示为无穷级数的方式之一,其中每一项都是一个指数函数这种表示方法在处理一些具有特定性质的函数时非常有用,例如处理一些具有周期性、振荡性或快速衰减的函数通过指数级数表示,我们可以更好地理解这些函数的性质和行为,并能够更方便地进行数学分析和计算洛朗兹级数表示总结词详细描述洛朗兹级数表示是解析函数的一种扩展的级数表示方洛朗兹级数表示是复变函数理论中的一种重要工具,它法,它通过将函数展开为洛朗兹函数的无穷级数来描是将复变函数表示为无穷级数的方式之一,其中每一项述函数的性质都是一个洛朗兹函数洛朗兹级数表示具有许多有用的性质和行为,例如它可以描述函数的奇偶性、对称性和周期性等此外,洛朗兹级数表示还可以用于求解某些微分方程和积分方程,以及研究函数的积分和微分性质等因此,洛朗兹级数表示在复变函数理论中具有重要的应用价值04解析函数的几何意义平面区域与边界平面区域复平面上的一个区域,可以是一个或多个连通开集边界区域外部的点集,通常表示为闭集单连通区域与多连通区域单连通区域区域内不存在任何闭曲线,即不存在环路多连通区域区域内存在至少一个闭曲线解析函数的几何意义解析函数在平面区域内部是光滑的,解析函数的零点、极点和拐点等特征没有断点或奇点点在平面区域内部有明确的几何意义解析函数的值在区域内部连续变化,没有跳跃或突变05解析函数与实函数的关系实函数的解析性实函数的可导性实函数在其定义域内可导,意味着函数在定义域内的每一点都有切线解析性与可导性的关系解析函数在定义域内处处可导,且其导数也是解析的实函数与复函数的关系实函数的限制实函数只能描述实数域上的行为,而复函数可以描述实数域和虚数域上的行为复函数的定义域复函数的定义域是复平面上的区域,可以是全域、半域或有限域复函数的实部与虚部复数的表示复数由实部和虚部组成,形式为$z=x+yi$,其中$x$和$y$是实数,$i$是虚数单位解析函数的实部与虚部解析函数在复平面上的表示为一条连续的曲线,其实部和虚部是该曲线在实轴和虚轴上的投影THANKS感谢观看。