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同济大学高等数学课件D18连续性与间断点•连续性的定义与性质•间断点的分类与判定•连续性与间断点的应用CATALOGUE•习题与解答目录01连续性的定义与性质函数在某点的连续性总结词函数在某点的连续性是指函数在该点的极限值等于函数值详细描述如果函数在某一点处的极限值等于该点的函数值,则称函数在该点连续这是连续性的基本定义,也是判断函数连续与否的依据总结词函数在某点的连续性具有局部性,即只关心该点的极限行为,而不考虑函数在其他点的情况详细描述连续性的定义只涉及到函数在某一点的极限行为,而与函数在其他点的情况无关因此,函数的连续性具有局部性函数在区间的连续性总结词详细描述函数在区间的连续性是指函数在区间内任意一点都连续如果函数在区间内的每一点都连续,则称函数在该区间连续这是对连续性概念的推广,涉及到函数在整个定义域内的行为总结词详细描述判断函数在区间是否连续,需要检查区间内每一点的极限要判断函数在区间是否连续,需要验证区间内每一点都满行为足连续性的定义即需要检查每一点的极限值是否等于该点的函数值连续函数的性质输入连续函数是一类具有良好性质的函数,它们具有极限标题连续函数具有一些重要的性质,如极限性质、可微性、详细描述性质、可微性、介值定理等重要性质这些性质在数介值定理等学分析和实际应用中都有广泛的应用总结词总结词连续函数的图像是一条连续不间断的曲线这意味着函数的值在定义域内是平滑变化的,没有跳跃或间断详细描述连续函数的图像是连续不间断的曲线的情况发生02间断点的分类与判定第一类间断点总结词在第一类间断点,函数在间断点处左右极限都存在,但不相等详细描述第一类间断点是函数在某点的左右极限都存在,但不相等的情况这种情况下,函数在间断点处没有定义,且在该点的极限值也不一定存在例如,函数$fx=frac{1}{x}$在$x=0$处就是第一类间断点第二类间断点总结词在第二类间断点,函数在间断点处的左右极限至少有一个不存在详细描述第二类间断点是函数在某点的左右极限至少有一个不存在的情况这种情况下,函数在该点的极限值也不一定存在例如,函数$fx=frac{1}{x}$在$x=0$处就是第二类间断点间断点的判定方法总结词通过计算函数在某点的左右极限,比较它们是否相等来判断该点是否为间断点详细描述要判断一个点是否为间断点,需要计算函数在该点的左右极限,并比较它们是否相等如果相等,则该点不是间断点;如果不相等,则该点是间断点此外,根据左右极限是否存在,还可以进一步判断该间断点是第一类还是第二类03连续性与间断点的应用利用连续性证明不等式连续性在证明不等式中的应用利用函数的连续性,可以证明一些不等式例如,利用函数的单调性、有界性等性质,结合连续函数的性质,可以证明一些不等式举例说明例如,要证明$x^2geq0$,可以利用连续函数的性质,结合区间端点的取值,证明该不等式利用间断点研究函数的性质间断点在研究函数性质中的应用间断点是函数值发生跳跃的点,通过研究函数的间断点,可以了解函数在这些点的性质例如,通过研究函数的间断点,可以判断函数是否可导、可微等举例说明例如,要研究函数$fx=frac{1}{x}$在$x=0$处的性质,可以通过研究该函数在$x=0$处的间断点,得出该函数在$x=0$处不可导连续性与间断点在物理中的应用连续性与间断点在物理中举例说明的应用在物理学中,很多现象可以用数学模型来描例如,在研究物体的振动时,可以利用间断述而连续性与间断点是描述这些现象的重点来描述物体在某些时刻的突变行为当物要工具例如,在研究物体的运动轨迹时,体受到外力作用时,其运动轨迹可能会发生可以利用连续性来描述物体的速度和加速度突变,此时可以利用间断点来描述这种突变的变化;而在研究物体的振动时,可以利用行为间断点来描述物体在某些时刻的突变行为04习题与解答习题部分题目1题目2判断函数$fx=frac{1}{x}$在$x=0$处的连续求函数$fx=x^2-2x$在$x=1$处的左极限性和右极限题目3求函数$fx=frac{1}{x}$在$x=0$处的左右极限答案与解析答案2函数$fx=x^2-2x$在$x=1$处的左极限为$-1$,答案1右极限为$-1$,因此函数在$x=1$处连续由于函数$fx=frac{1}{x}$在$x=0$处没有定义,因此函数在$x=0$处不连续答案3函数$fx=frac{1}{x}$在$x=0$处的左极限为$infty$,右极限为$-infty$,因此函数在$x=0$处不连续感谢您的观看THANKS。