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同济大学高等数学课件D54反常积分•反常积分概述•反常积分的计算方法•反常积分的几何意义CATALOGUE•反常积分的物理意义目录•反常积分的扩展知识01反常积分概述反常积分的定义反常积分分为两种无穷积分和瑕积分无穷积分是指积分区间为无穷区间,瑕积分是指被积函数在积分区间内存在无界点反常积分的定义基于极限理论,通过将积分区间分割并取极限,来处理被积函数在积分区间内无界或积分区间为无穷的情况反常积分的分类无穷积分当积分区间为无穷区间时,被积函数可能无界,也可能有界但在无穷远处取值为无穷根据被积函数在无穷远处的行为,无穷积分可以分为两种类型收敛和发散瑕积分当被积函数在积分区间内存在无界点时,瑕积分可以分为两种类型收敛和发散收敛的瑕积分可以通过一定的修正转化为常规积分,而发散的瑕积分则无法通过修正转化为常规积分反常积分的重要性质线性性质反常积分具有线性性质,即对于两个反常积分的和或差,其结果仍为反常积分,且结果等于两个反常积分结果的线性组合可加性如果一个函数在两个区间上分别可积,那么这两个区间上的反常积分之和等于该函数在整体区间上的反常积分无穷区间上的反常积分性质对于在无穷区间上的反常积分,如果被积函数在无穷远处趋于0,那么该反常积分收敛;如果被积函数在无穷远处趋于无穷,那么该反常积分发散02反常积分的计算方法直接计算法直接计算法适用于简单的反常积分,如无界函数在有限区间上01的积分直接计算法需要掌握基本的积分公式和运算技巧,如分部积分02法、换元积分法等直接计算法的步骤包括拆分积分区间、化简被积函数、逐个区03间积分等积分判别法积分判别法适用于判断反常积分的收敛性1通过比较反常积分与无穷级数,利用级数的收敛2性来判断反常积分的收敛性常见的积分判别法包括Cauchy判别法、Abel判3别法等变量替换法01变量替换法适用于被积函数较为复杂或积分区间非矩形的情况02通过适当的变量替换,将复杂的被积函数或非矩形区间转化为简单的形式,便于计算03常见的变量替换法包括三角函数替换、指数函数替换等反常积分的收敛性判断01判断反常积分的收敛性是反常积分计算的关键步骤02通过比较测试、Cauchy收敛原理等方法判断反常积分的收敛性03对于不同类型的反常积分,需要采用不同的收敛性判断方法03反常积分的几何意义反常积分在数轴上的表示反常积分在数轴上的表示,可以理解为函数图像与x轴围成的面积,只不过这个面积可能是无穷大或者无穷小当积分区间为无穷时,反常积分的结果可能为无穷大或无穷小,这取决于被积函数的正负性反常积分在平面上的表示在平面上,反常积分可以理解为函数对于无穷区间上的反常积分,其结果图像与x轴、y轴以及坐标围成的区域可能表示一个无穷大或无穷小的面积面积VS反常积分的应用实例在物理学中,反常积分可以用来计算某些物理量的值,例如电场强度、磁场强度等在经济学中,反常积分可以用来计算收益、成本等经济指标的长期平均值在工程学中,反常积分可以用来计算某些材料的应力分布、热传导等问题04反常积分的物理意义反常积分在力学中的应用计算弹性体在持续压力作用下的变形量通过反常积分计算弹性体在持续压力作用下的变形量,可以了解物体的弹性行为和稳定性求解质点在引力场中的运动轨迹利用反常积分,可以求解质点在引力场中的运动轨迹,从而研究天体运动和行星轨道等反常积分在电学中的应用计算电流分布在电学中,反常积分被用于计算电流分布,例如在电磁感应和电路分析中求解电势分布通过反常积分,可以求解电势分布,进一步研究电场和电势能等问题反常积分在热学中的应用计算热传导在热学中,反常积分被用于计算热传导过程,例如在分析热传导方程时研究热辐射通过反常积分,可以研究热辐射的传播和分布,例如在红外遥感、光谱分析和辐射传热等领域的应用05反常积分的扩展知识无穷区间上的反常积分要点一要点二无穷区间上的反常积分是指积分计算方法区间为无穷的积分根据积分…无穷限反常积分和无界反常积分无穷限反常积分是指积对于无穷限反常积分,可以通过将积分区间划分为有限个分下限或上限为无穷的积分,而无界反常积分是指被积函小区间,然后在每个小区间上应用定积分的计算方法进行数在积分区间内无界的积分计算对于无界反常积分,需要特别注意被积函数在积分区间内的无界性,并采用适当的计算方法进行计算无界函数的反常积分无界函数的反常积分是指被积函数在积分区间内无界的反常积分这类积分在计算时需要注意被积函数的无界性,并采用适当的计算方法进行处理计算方法对于无界函数的反常积分,可以采用瑕点法或变量替换法进行计算其中,瑕点法是将积分区间划分为瑕点和无瑕点两个部分,分别进行计算;而变量替换法则通过适当的变量替换将无界函数的反常积分转化为有界函数的定积分,从而简化计算过程一维形式的反常积分一维形式的反常积分是指被积函数和积分区间都是一维的反常积分这类积分在数学和物理领域中有着广泛的应用计算方法一维形式的反常积分可以采用与定积分类似的计算方法进行计算对于被积函数有界的情况,可以采用常规的定积分计算方法;而对于被积函数无界的情况,则需要采用适当的计算方法进行处理,如瑕点法、变量替换法等THANKS感谢观看。