同济大学第五版高等数学下课件D125全微分方程

同济大学第五版高等数学下课件d125全微分方程•全微分方程的基本概念目•全微分方程的求解方法录•全微分方程的应用•全微分方程的扩展与展望CONTENTS01全微分方程的基本概念CHAPTER全微分方程的定义全微分方程一个含有未知函数和未知函数偏导数的方程，表示一个未01知函数的全微分等于某个已知函数或表达式的方程0203形式条件dz=fx,y,z dx+gx,y,z dy+hx,全微分方程成立的条件是未知函数及y,z dz其偏导数在某点的值全微分方程的几何意义010203平面曲线曲面几何解释全微分方程可以用来描述全微分方程也可以用来描全微分方程表示的是函数平面曲线上的点在某个方述曲面上的点在某个方向值在某个方向上的变化量向上的变化量上的变化量与该方向上的导数之间的关系全微分方程的分类非线性全微分方程非线性全微分方程是指未知函数的最高阶导数的次数大于1的方程线性全微分方程线性全微分方程是指未知函数的最高阶导数的次数为1的方程高阶全微分方程高阶全微分方程是指未知函数的二阶或更高阶导数等于某个已知函数或表一阶全微分方程达式的方程一阶全微分方程是指未知函数的一阶导数等于某个已知函数或表达式的方程02全微分方程的求解方法CHAPTER初值问题定义给定一个微分方程和一组初始条件，求未知函数在某点的值求解步骤先对方程进行积分，然后代入初始条件进行求解初值问题的解法直接积分法分离变量法对方程进行积分，得到原函数，再代入初始条将方程中的变量分离出来，分别求解，最后联件求解立求解参数法引入参数，将方程转化为参数方程，再求解参数初值问题的数值解法欧拉方法将方程离散化，用已知点处的函数值和导数值来逼近方程的解龙格-库塔方法在已知点处使用线性插值多项式来逼近方程的解边值问题定义给定一个微分方程和一组边界条件，求未知函数在边界上的值求解步骤先对方程进行积分，然后代入边界条件进行求解边值问题的解法分离变量法将方程中的变量分离出来，分别求解，最后联立求解参数法引入参数，将方程转化为参数方程，再求解参数边值问题的数值解法有限差分法将方程离散化，用已知点处的函数值和导数值来逼近方程的解有限元方法将方程离散化为线性方程组，用已知点处的函数值和导数值来逼近方程的解03全微分方程的应用CHAPTER在物理中的应用量子力学全微分方程在量子力学中用于描述微观粒子的波函数随时间的变化热力学全微分方程可以描述热力学系统中的热量传递、熵变等现象电磁学全微分方程用于描述电磁场的变化和传播，如麦克斯韦方程组在工程中的应用流体动力学全微分方程用于描述流体运动中的压力、速度和温度等参数的变化控制系统信号处理全微分方程用于描述控制系统的动态行为，全微分方程用于信号的传播、滤波和调制等如线性时不变系统处理过程在经济学中的应用经济预测全微分方程可以用于预测经供需关系济指标的变化趋势，如GDP增长和通货膨胀率全微分方程用于描述市场供金融衍生品定价需关系的变化，如价格调整和库存管理全微分方程用于描述金融衍生品的价格变化，如期权定价04全微分方程的扩展与展望CHAPTER全微分方程的稳定性分析010203稳定性定义线性稳定性分析非线性稳定性分析对于全微分方程的解，如果其在通过线性化全微分方程，研究其研究非线性全微分方程的稳定性，某一点的小邻域内变化较小，则线性化系统的稳定性，从而推断需要采用更复杂的分析方法和技称该解在该点是稳定的原方程的稳定性术全微分方程的数值分析数值解法01对于无法解析求解的全微分方程，可以采用数值方法求解其近似解误差分析02对数值解的误差进行分析和控制，以保证数值解的精度和可靠性收敛性研究03研究数值解法的收敛性，以确定数值解是否能够逼近真实解全微分方程的并行计算并行计算框架并行算法设计并行计算优化利用并行计算框架，将全微分方设计高效的并行算法，以充分利对并行计算过程进行优化，以减程的求解过程分解为多个子任务，用并行计算的优势，提高全微分少通信开销和负载不均衡等问题，并分配给多个处理器同时执行方程求解的速度和效率进一步提高并行计算的效率THANKS感谢您的观看。