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《逆矩阵与伴随矩阵》PPT课件THE FIRSTLESSON OFTHE SCHOOLYEARCONTENTS目录•逆矩阵的定义与性质•伴随矩阵的定义与性质•逆矩阵与伴随矩阵的应用•逆矩阵与伴随矩阵的运算规则•逆矩阵与伴随矩阵的特殊情况•逆矩阵与伴随矩阵的实例分析01逆矩阵的定义与性质逆矩阵的定义逆矩阵逆矩阵的唯一性逆矩阵与行列式设$A$是一个$n timesn$矩阵,一个矩阵的逆矩阵是唯一的,记一个可逆矩阵的行列式值不为0,如果存在一个$n timesn$矩阵作$A^{-1}$即$|A|neq0$$B$,使得$AB=BA=I$,则称$B$是$A$的逆矩阵,记作$A^{-1}$逆矩阵的存在条件可逆矩阵如果一个矩阵满足其行列式值不为0,则该矩阵是可逆的奇异值对于奇异值分解,如果一个矩阵的奇异值都为0,则该矩阵是不可逆的线性方程组如果线性方程组无解或有无穷多解,则系数矩阵不可逆逆矩阵的性质逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩逆矩阵的逆也是原矩阵阵$AA^{-1}=A^{-1}A=I$$A^{-1}^{-1}=A$逆矩阵与转置矩阵的关系逆矩阵与行列式的关系$A^{-1}=A^{-1}$$A^{-1}=|A|^{-1}cdot A^{-1}$01伴随矩阵的定义与性质伴随矩阵的定义伴随矩阵的元素由原矩阵伴随矩阵是矩阵的一种重的代数余子式构成,其元要运算工具,它与行列式、素位置与原矩阵对应元素逆矩阵等概念紧密相关位置互换A BC D伴随矩阵的定义基于代数伴随矩阵的行列式称为伴余子式,通过代数余子式随行列式,其值等于原矩构建出一个新的矩阵,即阵行列式的代数余子式之为伴随矩阵和伴随矩阵的性质01伴随矩阵与原矩阵的行数和列数相同伴随矩阵的行列式等于原矩阵行列式的代02数余子式之和若原矩阵可逆,则伴随矩阵的行列式不为03零若原矩阵不可逆,则伴随矩阵可能为奇异04矩阵,行列式为零伴随矩阵的计算方法0102根据代数余子式的定义,计算原根据伴随矩阵的定义,将代数余矩阵中每个元素的代数余子式子式按照对应位置放入新矩阵中,得到伴随矩阵若原矩阵可逆,则可以通过伴随若原矩阵不可逆,则需要注意伴矩阵计算行列式的值随矩阵可能为奇异矩阵,行列式为零030401逆矩阵与伴随矩阵的应用在线性方程组中的应用线性方程组的解法利用逆矩阵,可以将线性方程组转化为简单的一元一次方程,从而求解未知数唯一解与无穷多解当系数矩阵的行列式不为0时,线性方程组有唯一解;当系数矩阵的行列式为0时,线性方程组可能有无穷多解在行列式中的应用行列式的性质伴随矩阵与行列式密切相关,行列式的值等于其代数余子式之和,而代数余子式与伴随矩阵相乘得到行列式的计算通过计算伴随矩阵,可以快速求出行列式的值,从而判断矩阵是否可逆在矩阵运算中的应用矩阵的除法矩阵的逆运算逆矩阵是矩阵除法的关键,通过求逆矩伴随矩阵是求逆矩阵的一种方法,通过求阵,可以将一个矩阵的等式转化为另一伴随矩阵,可以方便地求出逆矩阵个矩阵的等式VS01逆矩阵与伴随矩阵的运算规则逆矩阵的运算规则定义计算方法应用如果一个矩阵A存在逆矩阵A^-1,对于n阶方阵A,其逆矩阵A^-1可在解决线性方程组、矩阵的乘法逆元那么对于任何非零向量x,都有以通过高斯消元法或LU分解等方法等问题中,逆矩阵有着广泛的应用Ax=xA^-1=x计算得到伴随矩阵的运算规则定义应用对于一个n阶方阵A,其伴随伴随矩阵在行列式的计算、矩阵记为adjA,定义为A的线性方程组的解法、特征值代数余子式构成的矩阵,即和特征向量的计算等问题中adjA=D1D
2...Dn,其中有着广泛的应用Di是去掉A的第i行和第i列后得到的n-1阶行列式计算方法伴随矩阵可以通过代数余子式计算得到,也可以通过行列式值和转置矩阵计算得到01逆矩阵与伴随矩阵的特殊情况零矩阵的逆矩阵和伴随矩阵总结词不存在详细描述零矩阵没有逆矩阵和伴随矩阵,因为任何数乘以零都等于零,而逆矩阵需要满足逆矩阵乘原矩阵等于单位矩阵,这是不可能的方阵的逆矩阵和伴随矩阵总结词存在且唯一详细描述对于方阵A,其逆矩阵和伴随矩阵是存在的,并且是唯一的逆矩阵满足逆矩阵乘原矩阵等于单位矩阵,而伴随矩阵是原矩阵各元素对应的代数余子式的列向量组成的矩阵01逆矩阵与伴随矩阵的实例分析实例一求解线性方程组总结词详细描述线性方程组求解通过逆矩阵的方法,可以求解线性方程组给定一个线性方程组,通过消元法将其转化为标准形式,然后利用逆矩阵求得方程的解实例二计算行列式值总结词详细描述行列式计算伴随矩阵与行列式密切相关在计算行列式值时,可以利用伴随矩阵的性质和运算规则,简化计算过程,提高计算效率实例三进行矩阵运算总结词矩阵运算详细描述伴随矩阵在矩阵运算中具有重要作用通过伴随矩阵,可以方便地进行矩阵的逆运算、转置运算以及求矩阵的秩等操作,从而解决复杂的线性代数问题。