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《连续与可导》ppt课件目录•连续的定义CONTENTS•可导的定义•导数的计算•导数的应用01连续的定义函数在某点的连续性总结词函数在某点的连续性是指函数在该点的极限值等于函数值详细描述如果函数在某一点处的极限值等于该点的函数值,则称函数在该点连续这是连续性的基本定义,也是后续讨论连续函数性质的基础函数在某区间的连续性总结词函数在某区间的连续性是指函数在该区间内的任意一点都连续详细描述如果函数在某区间内的任意一点都满足连续性的定义,则称函数在该区间连续这是研究连续函数整体性质的基础连续函数的性质总结词连续函数的性质包括极限性质、四则运算性质和复合函数性质等详细描述连续函数具有一些重要的性质,如极限性质(即函数在某点的极限值等于该点的函数值)、四则运算性质(即两个连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数)和复合函数性质(即复合函数的连续性取决于内外函数的连续性)等这些性质是研究连续函数的重要工具02可导的定义函数在某点的可导性总结词函数在某点的可导性是指该点处函数值的变化率可以定义,并且变化率存在详细描述函数在某点的可导性是指函数在该点的切线斜率存在这意味着函数在该点的变化率可以定义,并且变化率是一个有限的数如果函数在某点不可导,则该点可能是函数的拐点或跳跃点导数的几何意义总结词导数的几何意义是函数图像在该点的切线斜率详细描述导数描述了函数值随自变量变化的速率在几何上,导数表示函数图像在该点的切线斜率如果一个函数在某点可导,那么该点的切线斜率就是该点的导数值可导函数的性质总结词可导函数具有连续性、单调性、凹凸性等性质详细描述可导函数在其定义域内是连续的,这意味着函数图像是一条连续不断的曲线此外,可导函数在其定义域内可能具有单调性、凹凸性等性质,这些性质可以通过求导数来研究单调性是指函数值随自变量的增加而增加或减少的性质;凹凸性是指函数图像的弯曲程度,如果图像向上凸出则为凹函数,向下凸出则为凸函数03导数的计算导数的四则运算线性组合乘积法则若$fx$和$gx$在某点可导,则$fx pmgx$和若$fx$和$gx$在某点可导,则$fxgx$在同一点也$cfx$在同一点也可导,且$f pmg=f+g$,$cf可导,且$f cdotg=fg+fg$=cf$商的导数幂函数的导数若$fx$和$gx$在某点可导,且$gx neq0$,则若$n$是实数,则$x^n=nx^{n-1}$$frac{fx}{gx}$在同一点也可导,且$leftfrac{f}{g}right=frac{fg-fg}{g^2}$复合函数的导数010203链式法则指数法则对数法则若$u=gx$在点$x$可若$u=gx$在点$x$可若$u=gx$在点$x$可导,且$y=fu$在点导,则$e^u=e^u导,则$u$可导,则复合函数$y cdot u$$leftfrac{1}{u}right=-=fgx$在点$x$可导,frac{1}{u^2}cdotu$且$f circg=fu cdotgx$高阶导数的计算高阶导数的定义高阶导数的计算方法高阶导数的应用对于可导函数$fx$,其高阶导数可以通过求使用高阶导数的定义和前述的求导法则进行高阶导数在数学、物理、工程等领域有广泛导得到例如,二阶导数可以通过对一阶导计算例如,利用乘积法则、链式法则等求的应用例如,在求解微分方程、研究函数数再次求导得到出高阶导数的极值和拐点等方面都需要用到高阶导数04导数的应用导数在极值问题中的应用极值问题极值判定导数还可以结合函数的单调性,通过导数可以用来确定函数的极值点,当比较函数在极值点附近的函数值,判一元函数在某点的导数为0或多元函定极值点的类型(极大值或极小值)数的偏导数为0时,该点可能为极值点单调性判定通过导数的符号变化,可以判断函数在某区间内的单调性,进而确定函数的极值点导数在曲线的切线问题中的应用切线斜率切线方程曲线的凹凸性导数即为函数在某一点的结合切线斜率和切点的坐通过导数的符号变化,可切线斜率,通过导数可以标,可以求出曲线上某一以判断曲线的凹凸性,进求出曲线上某一点的切线点的切线方程而研究曲线的几何特性斜率导数在函数的单调性中的应用单调区间结合函数的定义域和导数的符号变单调性判定化,可以确定函数的单调区间导数的符号变化可以用来判断函数的单调性,当导数大于0时,函数单调递增;当导数小于0时,函数单调递减单调性应用单调性是函数的重要性质之一,它可以用来研究函数的极值、最值等问题,以及解决一些实际问题感谢您的观看THANKS。