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2023REPORTING《连续性间断点高数》ppt课件2023•连续性与间断点的基本概念•连续性的性质与定理目录•间断点的性质与定理•连续性与间断点的应用CATALOGUE•习题与解答2023REPORTINGPART01连续性与间断点的基本概念连续性的定义总结词描述函数在某点的连续性详细描述连续性是指在某一点,函数的左右极限相等且等于函数值,即函数在该点是连续的,没有间断间断点的定义与分类总结词解释间断点的概念及分类详细描述间断点是指函数在某一点不连续的点,根据左右极限的情况,间断点可以分为第一类间断点和第二类间断点第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点,第二类间断点包括无穷间断点和震荡间断点连续性与间断点的重要性总结词阐述连续性与间断点在高数中的意义详细描述连续性与间断点是高数中研究函数性质的重要基础,对于理解函数的性质、求导数和积分等都具有重要的意义同时,在实际问题中,许多现象都可以通过连续或者不连续的数学模型来描述和解释2023REPORTINGPART02连续性的性质与定理连续性的基本性质总结词详细描述连续性的基本性质是研究连续函数的基连续性的基本性质包括函数在某点的极限础,包括极限性质、可微性、可积性等值等于函数在该点的函数值,即极限的局VS部性;函数在区间上的积分等于区间上无数个小区间的长度的总和,即积分的可加性等这些性质是研究连续函数的重要基础单调函数的连续性总结词详细描述单调函数的连续性是指在单调递增或单调递单调函数的连续性是指在单调递增或单调递减的函数中,函数的极限值等于函数在该点减的函数中,如果函数在某点的左侧小于该的函数值点的函数值,则在右侧也小于该点的函数值,即函数的极限值等于函数在该点的函数值这一性质在研究单调函数的性质和定理中非常重要闭区间上连续函数的性质要点一要点二总结词详细描述闭区间上连续函数的性质包括最值定理、介值定理和零点最值定理是指在闭区间上连续的函数一定存在最大值和最定理等小值;介值定理是指如果函数在闭区间的两个端点取值为正负无穷大,则在这两个端点之间至少存在一个点,使得函数值为零;零点定理是指如果函数在闭区间的两端取值异号,则在这两个端点之间至少存在一个零点这些性质在研究连续函数的性质和定理中非常重要2023REPORTINGPART03间断点的性质与定理第一类间断点的性质与定理性质1在第一类间断点处,函数没有定义定理1如果函数在某点的左右极限都存在,则该点为第一类间断点第二类间断点的性质与定理性质2在第二类间断点处,函数有定义,但极限不存在定理2如果函数在某点的左右极限至少有一个不存在,则该点为第二类间断点间断点与极限的关系关系1关系2间断点是函数值无法连续通过的点,而极限是函数值无间断点是极限不存在的点,但极限不存在不一定意味着限接近某点的趋势存在间断点2023REPORTINGPART04连续性与间断点的应用连续性与导数的关系连续性是函数的基本性质,而导数则是函数在某一点上的切线斜率如果函数在某一点上连续,那么该点的导数存在,且等于该点的切线斜率导数的定义是函数值随自变量变化的速率,而连续性则保证了这种变化是平滑的,没有突然的跳跃或中断在几何上,连续性意味着函数图像在各点之间是平滑过渡的,而导数则描述了这种平滑过渡的剧烈程度间断点与函数图像的关系010203间断点是函数在某一点上不连在函数图像上,间断点通常表通过研究间断点,可以更好地续的点,这些点通常会导致函现为垂直或水平的切线,这是理解函数图像的整体形态和变数图像在该点处产生突变或跳因为函数在该点上的值突然改化趋势,以及函数在不同区间跃变或不存在上的性质和行为连续性与微积分的应用连续性是微积分的基本假设之一,它为微积分中的许多概念和定理提供了基础在微积分中,许多重要的概念和定理都与连续性有关,如极限、可导性、积分等通过研究函数的连续性和间断点,可以更好地理解微积分中的概念和定理,并将其应用于实际问题中2023REPORTINGPART05习题与解答习题一题目解答求函数$fx=frac{1}{x}$在点$x=0$处的函数$fx=frac{1}{x}$在点$x=0$处不连连续性和间断性续,因为当$x to0$时,$fx toinfty$,即函数值无限增大,不收敛于一个确定的值习题二题目解答判断函数$fx=x^2$在点$x=-1$处的连续性和间函数$fx=x^2$在点$x=-1$处连续,因为当$x to断性-1$时,$fx to1$,即函数值收敛于一个确定的值习题三题目解答求函数$fx=sqrt{x}$在点$x=0$处的连续性和间断函数$fx=sqrt{x}$在点$x=0$处不连续,因为当$x性to0$时,$fx to0$,即函数值收敛于0,但在该点处函数的左右极限不相等,因此不连续2023REPORTINGTHANKS感谢观看。