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ONE KEEPVIEW2023-2026《连续性与间断点》ppt课件REPORTING•连续性的定义与性质•间断点的定义与分类•连续性与间断点的关系目•连续性与间断点的应用•习题与思考录CATALOGUEPART01连续性的定义与性质函数在某点的连续性定义总结词函数在某点的连续性是指函数在该点的极限值等于函数值详细描述如果函数在某一点处的极限值等于该点的函数值,则称函数在该点连续数学上,如果对于任意给定的正数$epsilon$,都存在一个正数$delta$,使得当$x$满足$0|x-a|delta$时,有$|fx-fa|epsilon$,则称函数$fx$在点$a$处连续函数在区间上的连续性定义总结词函数在区间上的连续性是指函数在区间内的任意一点都连续详细描述如果函数在区间内的每一点都连续,则称函数在该区间上连续这意味着对于区间内的任意一点$x$,函数$fx$都满足在某点的连续性定义连续函数的性质总结词连续函数具有一些重要的性质,如可导性、可积性、初值定理等详细描述连续函数是一类非常重要的数学函数,它们具有许多重要的性质例如,连续函数在其定义域内是可导的,这意味着它们满足导数的定义此外,连续函数也是可积的,这意味着它们在区间上的定积分存在此外,连续函数还具有初值定理等重要性质PART02间断点的定义与分类第一类间断点(可去间断点)定义在某一点左侧和右侧的函数值相等,即$fx_{0}-0=fx_{0}+0$,则称$x_{0}$为函数$fx$的可去间断点描述可去间断点是间断点中最容易处理的一种,可以通过补充定义使得函数在该点连续第二类间断点(跳跃间断点、无穷间断点)定义在某一点左侧和右侧的函数值不相等,即$fx_{0}-0neq fx_{0}+0$,则称$x_{0}$为函数$fx$的跳跃间断点如果函数值在某一点趋于无穷,则称该点为无穷间断点描述跳跃间断点和无穷间断点是较难处理的间断点类型,因为它们涉及到函数值的突变或无穷大间断点的性质010203性质1性质2性质3如果函数在某一点存在间如果函数在某一点存在第如果函数在某一点存在第断点,则在该点的左右极一类间断点,则在该点的二类间断点,则在该点的限可能存在也可能不存在左右极限一定存在但不相左右极限可能存在也可能等不存在PART03连续性与间断点的关系连续函数与可去间断点定义举例性质可去间断点是指函数在该$fx=frac{1}{x}$在x=0可去间断点不会影响函数点的左右极限相等,但该处存在可去间断点,因为的连续性,因为该点的左点处的函数值可能不存在f0无定义,但limx-右极限相等0+fx=1=limx-0-fx连续函数与跳跃间断点定义性质跳跃间断点是指函数在该点的左右极跳跃间断点会破坏函数的连续性,因限不相等,即函数在该点处发生“跳为该点的左右极限不相等跃”举例$fx=begin{cases}x,x leq02x,x0end{cases}$在x=0处存在跳跃间断点,因为limx-0+fx=0!=limx-0-fx=0连续函数与无穷间断点举例$fx=frac{1}{x}$在x=0处存在无定义穷间断点,因为limx-0fx=∞无穷间断点是指函数在该点的极限为无穷大性质无穷间断点会破坏函数的连续性,因为该点的极限为无穷大PART04连续性与间断点的应用利用连续性判断函数性质总结词通过判断函数在某点的连续性,可以推断出函数在该点附近的性质详细描述如果函数在某点连续,那么该点附近的函数值变化平缓,不会出现剧烈的跳跃或突变因此,可以利用连续性来判断函数在某点附近的增减性、极值、拐点等性质利用间断点研究函数性质总结词详细描述通过分析函数的间断点,可以深入了解间断点是函数值发生跳跃或突变的地方,函数的变化规律和性质通过对间断点的分析,可以了解函数在这VS些点的变化特征,例如第一类间断点(可去间断点和跳跃间断点)和第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)等这些分析有助于理解函数的整体性质和变化规律连续性与间断点在实际问题中的应用总结词详细描述连续性与间断点在解决实际问题中具有广泛的应用价在物理学、工程学、经济学等领域中,许多实际问题值需要用到连续性与间断点的概念例如,在物理学中的速度、加速度、力的变化规律分析中,可以利用连续性来描述平滑的变化过程;在经济学中的供需关系、价格形成机制中,可以利用间断点来描述市场价格的突变和调整此外,在信号处理、图像处理等领域中,连续性与间断点的概念也具有重要应用价值PART05习题与思考基础习题基础习题1答案基础习题2答案判断函数$fx=x^2-求函数$fx=函数$fx=frac{1}{x}$函数$fx=x^2-2x$2x$在点$x=1$处的连frac{1}{x}$在点$x=0$在点$x=0$处是无穷间在点$x=1$处是连续的续性处的间断点类型断点进阶习题01020304进阶习题1答案进阶习题2答案求函数$fx=frac{1}{x}$在函数$fx=frac{1}{x}$在区判断函数$fx=frac{1}{x}$函数$fx=frac{1}{x}$在区区间$0,1$内的连续性间$0,1$内是连续的在区间$-infty,0$内的连续间$-infty,0$内是连续的性思考题思考题1思考题2如何判断一个函数在某点处的如何判断一个函数在某区间内连续性?的连续性?答案提示答案提示根据连续性的定义,判断函数根据连续性的定义,判断函数在某点处的极限值是否等于该在区间内每一点的极限值是否点的函数值都等于该点的函数值22002233--22002266END KEEPVIEWTHANKS感谢观看REPORTING。