高等数学_同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限

高等数学_同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限CONTENTS•函数•极限•导数•连续性01函数函数的定义与性质函数的定义函数是数学上的一个概念，它是一种特殊的对应关系，这种关系使得每个自变量x在定义域内对应一个唯一的因变量y函数的定义域和值域是函数的两个重要属性函数的性质函数具有一些基本的性质，如奇偶性、单调性、周期性等这些性质对于理解和应用函数非常重要函数的运算函数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法等基本运算这些运算可以帮助我们理解和变换函数复合函数复合函数是将两个或多个函数组合在一起形成的函数通过复合函数，我们可以将复杂的函数简化为简单的函数反函数反函数的定义反函数是相对于原函数而言的，如果将原函数的x和y互换，得到的函数就是反函数反函数的存在是有条件的，不是所有的函数都有反函数反函数的性质反函数具有一些独特的性质，如反函数的导数等于原函数导数的倒数等这些性质对于理解和应用反函数非常重要02极限极限的定义极限的描述性定义极限的精确定义当自变量趋近某一值时，函数值无限接对于任意小的正数$epsilon$，存在一个近于某一常数，则该常数为函数的极限正数$delta$，当$0|x-x_0|delta$VS时，有$|fx-L|epsilon$，其中$L$为函数的极限极限的性质有界性若函数在某点的极限存在，则该函数在该点的值有界唯一性若函数在某点的极限存在，则该极限唯一局部有界性若函数在某点的极限存在，则存在一个正数$delta$，当$0|x-x_0|delta$时，函数有界无穷小量与无穷大量无穷小量当自变量趋近某一值时，函数值趋近于0无穷大量当自变量趋近某一值时，函数值无穷大03导数导数的定义与性质导数的定义导数的性质导数是函数在某一点的变化率，表示函数在导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘该点附近的小范围内变化的情况导数描述积法则、商的导数法则、链式法则等，这些了函数值随自变量变化的速率性质在研究函数的单调性、极值、曲线的切线等问题时具有广泛应用导数的运算基本初等函数的导数复合函数的导数对于一些常见的初等函数，如幂函数、指数复合函数的导数是通过对复合函数进行求导函数、三角函数等，可以直接求出它们的导法则来计算的，即链式法则通过链式法则，数这些基本初等函数的导数是研究复杂函可以方便地求出复合函数的导数数导数的基础高阶导数高阶导数的定义高阶导数是函数的一阶导数的导数，表示函数在某一点附近更精细的变化情况高阶导数可以用于研究函数的极值、拐点等问题高阶导数的应用高阶导数在数学和物理中有着广泛的应用，如求解微分方程、研究函数的极值和拐点、分析函数的振动性质等04连续性连续性的定义要点一要点二连续性的定义连续函数的性质如果函数在某一点的极限值等于函数值，则函数在该点连如果函数在某一点连续，则该点的左极限和右极限都存在，续即，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使并且等于该点的函数值得当x满足|x-a|δ时，有|fx-fa|ε，则称函数f在点a处连续函数的间断点间断点的定义间断点的分类间断点的处理如果函数在某一点不连续，则该间断点可以分为第一类间断点和在研究函数的性质时，需要特别点称为函数的间断点第二类间断点第一类间断点包注意间断点的情况，因为它们可括可去间断点和跳跃间断点，第能会对函数的整体性质产生影响二类间断点包括无穷间断点和振荡间断点闭区间上连续函数的性质最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数一定可以取得最大值和最小值中值定理如果函数在闭区间上连续，则至少存在一个点c属于这个闭区间，使得fc=M*N，其中M和N分别为函数在区间端点的函数值的乘积介值定理如果函数在闭区间上连续，且在这两个端点的函数值异号，那么至少存在一个点c属于这个闭区间，使得fc=0谢谢您的聆听THANKS。